桶排序
假設有一組長度爲N的待排關鍵字序列K[1....n]。首先將這個序列劃分成M個的子區間(桶) 。然後基於某種映射函數 ，將待排序列的關鍵字k映射到第i個桶中(即桶數組B的下標 i) ，那麼該關鍵字k就作爲B[i]中的元素(每個桶B[i]都是一組大小爲N/M的序列)。接着對每個桶B[i]中的所有元素進行比較排序(可以使用快排)。然後依次枚舉輸出B[0]....B[M]中的全部內容即是一個有序序列。
假如待排序列K= {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }。這些數據全部在1—100之間。因此我們定製10個桶，然後確定映射函數f(k)=k/10。則第一個關鍵字49將定位到第4個桶中(49/10=4)。依次將所有關鍵字全部堆入桶中，並在每個非空的桶中進行快速排序。
桶排序代價分析
桶排序利用函數的映射關係，減少了幾乎所有的比較工作。實際上，桶排序的f(k)值的計算，其作用就相當於快排中劃分，已經把大量數據分割成了基本有序的數據塊(桶)。然後只需要對桶中的少量數據做先進的比較排序即可。
對N個關鍵字進行桶排序的時間複雜度分爲兩個部分：
(1) 循環計算每個關鍵字的桶映射函數，這個時間複雜度是O(N)。
(2) 利用先進的比較排序算法對每個桶內的所有數據進行排序，其時間複雜度爲 ∑ O(Ni*logNi) 。其中Ni 爲第i個桶的數據量。
很顯然，第(2)部分是桶排序性能好壞的決定因素。儘量減少桶內數據的數量是提高效率的唯一辦法(因爲基於比較排序的最好平均時間複雜度只能達到O(N*logN)了)。因此，我們需要儘量做到下面兩點：
(1) 映射函數f(k)能夠將N個數據平均的分配到M個桶中，這樣每個桶就有[N/M]個數據量。
(2) 儘量的增大桶的數量。極限情況下每個桶只能得到一個數據，這樣就完全避開了桶內數據的“比較”排序操作。 當然，做到這一點很不容易，數據量巨大的情況下，f(k)函數會使得桶集合的數量巨大，空間浪費嚴重。這就是一個時間代價和空間代價的權衡問題了。
對於N個待排數據，M個桶，平均每個桶[N/M]個數據的桶排序平均時間複雜度爲：
O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))=O(N+N*logN-N*logM)
當N=M時，即極限情況下每個桶只有一個數據時。桶排序的最好效率能夠達到O(N)。
總結： 桶排序的平均時間複雜度爲線性的O(N+C)，其中C=N*(logN-logM)。如果相對於同樣的N，桶數量M越大，其效率越高，最好的時間複雜度達到O(N)。 當然桶排序的空間複雜度 爲O(N+M)，如果輸入數據非常龐大，而桶的數量也非常多，則空間代價無疑是昂貴的。此外，桶排序是穩定的。
我個人還有一個感受：在查找算法中，基於比較的查找算法最好的時間複雜度也是O(logN)。比如折半查找、平衡二叉樹、紅黑樹等。但是Hash表卻有O(C)線性級別的查找效率(不衝突情況下查找效率達到O(1))。大家好好體會一下：Hash表的思想和桶排序是不是有一曲同工之妙呢?
基數排序
上面的問題是多關鍵字的排序，但單關鍵字也仍然可以使用這種方式。
比如字符串“abcd” “aesc” "dwsc" "rews"就可以把每個字符看成一個關鍵字。另外還有整數 425、321、235、432也可以每個位上的數字爲一個關鍵字。
基數排序的思想就是將待排數據中的每組關鍵字依次進行桶分配。比如下面的待排序列：
278、109、063、930、589、184、505、269、008、083
我們將每個數值的個位，十位，百位分成三個關鍵字： 278 -> k1(個位)=8 ，k2(十位)=7 ，k3=(百位)=2。
然後從最低位個位開始(從最次關鍵字開始)，對所有數據的k1關鍵字進行桶分配(因爲，每個數字都是 0-9的，因此桶大小爲10)，再依次輸出桶中的數據得到下面的序列。
930、063、083、184、505、278、008、109、589、269
再對上面的序列接着進行鍼對k2的桶分配，輸出序列爲：
505、008、109、930、063、269、278、083、184、589
最後針對k3的桶分配，輸出序列爲：
008、063、083、109、184、269、278、505、589、930
性能分析
很明顯，基數排序的性能比桶排序要略差。每一次關鍵字的桶分配都需要O(N)的時間複雜度，而且分配之後得到新的關鍵字序列又需要O(N)的時間複雜度。假如待排數據可以分爲d個關鍵字，則基數排序的時間複雜度將是O(d*2N) ，當然d要遠遠小於N，因此基本上還是線性級別的。基數排序的空間複雜度爲O(N+M)，其中M爲桶的數量。一般來說N>>M，因此額外空間需要大概N個左右。
但是，對比桶排序，基數排序每次需要的桶的數量並不多。而且基數排序幾乎不需要任何“比較”操作，而桶排序在桶相對較少的情況下，桶內多個數據必須進行基於比較操作的排序。因此，在實際應用中，基數排序的應用範圍更加廣泛。