SAR成像基礎知識急救箱（零）關於傅里葉變換的幾個小困惑

首先需要明確傅里葉級數和傅里葉變換的差異。
前者是針對周期函數的傅里葉展開級數，有三種形式（當然，它們是等價的），可以通過三角函數公式和歐拉公式相互轉換。關於傅里葉級數網上有個形象化的解釋：給出一道菜（函數），分析出其包含的食材的種類（頻率）和數量（振幅）。並且再一次把分析出來的結果堆在一起還是原來的那個味道。
傅里葉變換是因爲非周期函數而提出的，分爲傅里葉正變換和反變換，注意傅里葉變換對的意義。但是後來也擴展到了周期函數。
另外最近看到一個說法覺得耳目一新：傅里葉級數展開的係數不過是各分量正交情況下的最小二乘解。說的是大實話，不過我以前就沒能把它和最小二乘聯繫起來。那些年的高數都白學了。

1 複數

不要覺得複數很奇怪，他的涵義是“旋轉”。它跟實數世界溝通的橋樑是歐拉公式，這裏這是形式的轉換，可以認爲歐拉公式是一個穿越門，一個實數世界的三角函數穿過這個門之後就變成了複數世界的一員。仔細想想，三角函數本身表示的就是旋轉在垂直軸上的投影呢，這也就是三角函數和複數可以溝通的原因。
這就是歐拉公式：

e jnω =cos(nω)+jsin(nω) 

據此有：

cos(nω)=e jnω +e −jnω 2  

sin(nω)=e jnω −e −jnω 2j  

前面也說了，傅里葉級數有三種形式(當然如果利用歐拉公式和三角函數公式進行轉換，傅里葉變換也是有三種形式的)：

f(t) =a 0 +∑ n=1 +∞ [a n cos(nω 1 t)+b n sin(nω 1 t)]=c 0 +∑ n=1 +∞ [c n cos(nω 1 t+φ n )]=d 0 +∑ n=1 +∞ [d n sin(nω 1 t+θ n )]=∑ −∞ +∞ F(nω 1 )e −jnω 1 t   

其中：最後一種形式的求和範圍變了，奇怪地出現了負頻率這個慕名奇妙的概念，這裏只數學轉換中的trick，也是歐拉公式搞的鬼，稍微試着推推公式，真相就會大白。也正是這個原因，複數形式的頻譜幅度會會是其他形式的一半，因爲它同時包含正負半軸，而能量需要守恆。

2 傅里葉變換

2.1 公式

非週期信號可以看成是週期無限大的信號，經過一些求極限等推導，得到了傅里葉變換對：

F(ω)=∫ +∞ −∞ f(t)e −jωt dt 

f(t)=12π ∫ +∞ −∞ F(ω)e jωt dω 

對應的也有頻譜圖，但是注意各角頻率的間隔會無限小，最後幅度不再表示頻譜，而是頻譜密度函數。
下圖爲矩形脈衝的圖形及其對應的頻譜：

由上圖可知，雖然矩形脈衝在時域集中於有限的範圍內，然而它的頻譜卻以採樣函數的形式變化，分佈在無限的頻率範圍，但其主要頻率分量幾種在有限範圍內B∼1τ   。這樣的極端情況是：直流信號的傅里葉變換是衝激函數；衝激函數的傅里葉變換是“均勻譜”。

2.2 SAR成像中用到的傅里葉變換性質

若f(t)↔F(ω)  ，

• 則f ∗ (−t)↔F ∗ (ω)  這在匹配濾波器實現中用到了。

• 則f(at)↔1∣a∣ F(ωa )  這是尺度變換特性，可以這樣理解：信號的波形壓縮a  倍a>1  ，信號的變化將會變快a  倍，所以它包含的頻率分量增加a  倍，也就是所頻譜展寬a  倍，根據能量守恆，各頻率分量的大小必然減小a  倍。另外一個角度需要用到簡單的推導，最終會得到B=2πτ   ，其中τ,B  分別表示信號的等效時寬和帶寬。這說明若要壓縮信號持續的時間（這正是提高SAR的距離向分辨率需要做到的），則不得不以展寬頻帶做代價。

• 則f(t+t 0 )↔e jωt 0  F(ω)  這是時移特性，涵義是信號在時域的延遲或者提前僅對應頻域的相位變化。

• 另外就是卷積定理了，即時域的乘積對應頻域的卷積；時域的卷積對應頻域的乘積。

• 最後稍微提一下這個特性：信號的時域和頻域呈抽樣（離散）和週期（重複）對應關係。也就是信號在時域的抽樣對應着頻域的重複，重複週期對應抽樣間隔ω s =2πT s    ；信號在頻域的抽樣對應時域的重複（週期），週期對應抽樣間隔T 1 =2πω 1   

3 相位

在InSAR裏面相位是個非常重要的概念，然而相位這個東西並不太直觀。如果從數學的角度去框住它，也許就不會再困擾我們啦。
無論是傅里葉級數展開還是傅里葉變換，無論是離散還是連續，轉換到頻率域之後都會對應頻率及其對應的振幅和相位。假設說某一頻率對應的係數是a+bj  ，那麼該頻率對應的振幅即是這個複數的大小，相位即是這個複數的角度。如果你知道複平面這個東西，剩下的分析都是小兒科啦：

• 振幅：(a 2 +b 2 ) − − − − − − −  √  
• 相位：ϕ=  ,具體地，
  
  ϕ=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ π2 −π2 0πarctan(ba )  for a=0 for a=0 for b=0 for b=0otherwise b>0b<0a>0a<0  

4 還沒有明白的困惑

連續只存在於數學中吧？現實裏面有什麼是連續的嗎？光似乎都不是連續的，時間是連續的嗎？至少當我們來用電腦去處理數據的時候，全部是採樣之後的離散數據，那麼也就是說其實我們用到的只是離散傅里葉變換，連續情況只是充當了理論推導的工具。

書上的解釋說正是因爲這樣離散傅里葉變換和FFT的意義才顯得那樣巨大。後面去學習一下離散傅里葉變換和FFT。

突然發現自己寫的東西估計也只能給自己看了，並不會吸引人。因爲沒有趣，而且知識也沒有循序漸進，所有的說明解釋都是建立的自己的理解之上的，並默認讀者已經讀了跟自己一樣的書，有了同樣的理解，重點部分也只是自己沒有理解的部分。先這樣吧，詳盡有趣而又不失準確性地科普不是我這個階段應該做的事。等到後面自己爬得高了，理解的東西多了，也許可以回過頭來寫些東西。

自己在學習的時候主要參考了鄭君裏的教材，覺得寫得還是挺形象的，有很多圖形和例子。估計對於被動的學習者來說再好的教材也是對牛彈琴，試圖通過一本好書來代替自己的思考是一種深刻的愚昧。

5 關於fft的一些網站和好的帖子

http://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/