SAR成像基礎知識急救箱（一）卷積 相關 濾波器那些事兒

1 相關與卷積

1.1 相關

自相關定義：

A(τ)=∫μ(t)μ(t+τ)dt 

自相關的涵義是一個函數和平移後的自己的乘積的積分，注意自相關是平移量的函數。直觀上理解：如果平移量爲0，則對應上式的結果最大。對於如下式所示的信號：

μ 1 (t)={10  for ∣ t∣≤T/2otherwise  

對於T=1  ，對應的圖形和自相關函數分別爲:

可以這樣理解：積分代表面積，所以函數平移之後與原來的自己再相乘再積分，即是看乘積函數與水平軸圍成的面積。對於上式，可以想象的是，若平移量較大，大於1，則乘積爲零，面積爲零，即相關函數值爲零；同樣的，若平移量爲零，則在範圍爲(−0.5,0.5)  內乘積始終爲1，面積爲1，相關函數的值爲1。
互相關是自相關的擴充，定義爲，

C μv (τ)=∫μ ∗ (t)v(t+τ)dt 

其中上標表示複共軛，對於實數，可以忽略。
幾何上，相關解釋爲滑動內積，通常，相關是對等式右邊兩個信號的比較。

1.2 卷積

卷積的定義爲：

f(τ)=∫f 1 (t)f 2 (τ−t)dt 

對比上式，卷積與互相關的區別很明顯，卷積是先將一個函數對摺之後再平移，再與另一個函數相乘，再積分。它也是平移量的函數。顯然若函數是是對稱函數，則對摺與否並不影響結果。
卷積有性質：線性和、結合律和交換律。
另外，還有二維卷積、離散卷積。對於離散卷積需要注意的是其輸出結果存在邊緣效應。
上面說到對於對稱實信號，卷積和相關相同，但是對於下式來說，卷積和相關就體現出了差異，

μ 2 (t)={10 for 0<t<Totherwise  

函數圖形、自相關函數圖形、卷積的圖形分別爲：

自相關函數圖形和卷積函數圖形的區別是“對摺”造成的。
相關的物理意義還是比較好理解的，相關程度；卷積的物理意義是什麼呢？牽強一點可以理解與一個函數和另一個函數對摺之後的版本
的相關程度。應該不止如此吧。。。。。。
另外卷積是可交換的，相關不可：

C μv (t)=C ∗ μv (−t) 

2 濾波器

2.1 濾波器的衝激響應和傳遞函數

因爲：

f(t)=∫ +∞ −∞ f(τ)δ(t−τ)dτ 

現有線性時不變系統H  ，且：

Hδ(t)=h(t) 

則，for any input function x(t), the output function y(t) can be expressed as：

y(t) =Hx(t)=H∫ +∞ −∞ x(τ)δ(t−τ)dτ=∫ +∞ −∞ x(τ)h(t−τ)dτ=x(t)∗h(t)  

這是一個很有意思的結論，後面我們會用到。
若把濾波器看成是一個線性時不變系統，則h(t)  即爲濾波器的衝激響應。
濾波器的傳遞函數定義爲H(f)  ：

h(t)=∫ +∞ −∞ H(f)e j2πft df 

H(f)=∣ H(f)∣e jϕ(f)  

其中：

• ∣ H(f)∣  表示濾波器的幅頻特性，即當某一幅度爲1，頻率爲f的信號通過濾波器後輸出信號的幅度變化；
• ϕ(f)  表示濾波器的相頻特性，即當某一幅度爲1，頻率爲f且相位爲零的信號通過濾波器後輸出信號的相位變化；

考慮到時域的卷積對應頻域的乘積， 繼續轉換上式：

y(t) =x(t)∗h(t)=∫ +∞ −∞ x(τ)h(t−τ)dτ=∫ +∞ −∞ X(f)H(f)e j2πft df  

2.2 匹配濾波器

匹配濾波器在SAR成像中是非常關鍵的一個存在。直觀的理解是：把回波信號的已知形式稍作轉換後放到一個盒子裏，當回波信號通過盒子時候，如果跟盒子裏面的信號配上了，或者說比較像，盒子就尖叫一聲，這樣我們根據不同時間的尖叫聲就可以知道對應不同距離的目標的回波信號啦。這裏的數學原理是如下。
假設發射信號是μ(t)  ，回波信號是r(t)=σμ(t−τ) 
數學上描述兩個信號是否配上，用相關：

y(t)=∫μ ∗ (s)r(s+t)ds=σ∫μ ∗ (s)μ(s+t−τ)ds=σA(t−τ) 

顯然，當t=τ  ，輸出值最大，注意這裏的τ  爲回波時延。如果有N個目標則輸出中就有N個尖峯。若r(t)=∑ N i=1 σ i μ(t−τ i )  ,則對應的輸出爲：

y(t) =∫μ ∗ (s)r(s+t)ds=∑ i=1 N ∫μ ∗ (s)μ(s+t−τ i )ds=∑ i=1 N σ i A(t−τ i )  

稍微作形式上的轉換：

y(t)=∫μ ∗ (s)r(s+t)ds=∫r(s)μ ∗ (−(t−s))ds=∫r(s)h(t−s)ds 

注意這是一個輸入信號和h(t)=μ ∗ (−t)  的卷積。那麼可想而知，這裏的h(t)=μ ∗ (−t)  即爲匹配濾波器的衝激響應。考慮到時域的卷積對應頻域的乘積，若Y(f),R(f),H(f)  分別爲y(t),r(t),h(t)  的傅里葉變換，則：

Y(f)=R(f)H(f) 

其中：

H(f) =∫h(t)e −j2πft dt=∫μ ∗ (−t)e −j2πft dt=U ∗ (f)  

注意這裏f前並沒有負號，可以這樣理解：頻域的複共軛對應時域的複共軛加上時間反折。
前面說過根據匹配濾波器的輸出（尖峯的位置）我們可以進行目標定位，這並沒有錯。但匹配濾波器的輸出尖峯的位置既可能對準目標回波信號輸入的前沿也可能對準其零頻位置，這跟匹配濾波器的具體實現方式有關。
值得注意的是以上的討論都只考慮了連續信號的情況，實際處理中一般都是採樣後得到的離散信號。這樣帶來的一個問題是，卷積會存在棄置區（因爲邊緣效應）。