srm 518(有FWT的題QvQ)

250

Description

從一個字符串中找一字典序最大的字串

Solution

從左至右貪心即可

500:

Description

有一個序列，每次可以將一個數-1需要花費1的代價，問最後使得序列滿足2ai≤ai−1+ai+1

Solution

因爲滿足ai−1−ai≥ai−ai+1 `,也就是說序列相鄰兩項差是遞減的，所以每當不滿足條件時暴力調整`ai ，直到不需要調整爲止。想想極限數據調整次數即可直到複雜度是靠譜的。

1000

Description

求符合以下條件的序列個數

• 1:長度爲K
• 2:每個元素大小不超過L
• 3:每個數都是質數
• 4:所有數異或和爲0
  K≤109,L≤5×104

Solution

基本的遞推方程很容易列出來fi,j表示前i個數異或和爲j的方案數
則:fi,x⊕y=∑0≤x,y≤216fi−1,x×f1,y
f1,y=1當且僅當y爲質數且y≤L
這樣暴力遞推顯然是O(KL2)的,i爲偶數時分治一下可以做到O(L2log2K)的 ，複雜度還是不行
然後我們可以想到把這個東西搞成類似於FFT的東西。
設向量a,b,c,定義向量之間的運算$,c=a$b
ci⊕j=∑ai×bj,做變換tf,使得tf(a$b)=tf(a)×tf(b),逆變換dft(tf(x))=x
設a向量，ai表示i堆石子異或和爲0∼216的方案數，a1在素數位置處爲1，其他位置爲0
這樣我們只需要用log2K的時間算出tf(a1)K,在做逆變換得到aK即爲答案
觀察tf和dtf的性質，當只有一個元素時，tf(x)=dtf(x)=x
當有兩個元素X=(a,b),Y=(c,d)時
Z=X$Y
Z0=X0×Y0+X1×Y1=ac+bd
Z1=X0×Y1+X1×Y0=ad+bc
另tf(a,b)=(a−b,a+b)
則tf(X)×tf(Y)=(a−b,a+b)×(c−d,c+d)
=((a−b)×(c−d),(a+b)×(c+d))
=(ac+bd−ad−bc,ac+bd+ad+bc)
=tf(ac+bd,ac−bd)
=tf((a,b)$(c,d))
=tf(X$Y)
有A，B兩向量，用歸納法可證明出tf(A+B)=tf(A)+tf(B)
如果我們將X向量分成兩段等長的向量X1,X2
我們歸納一下會發現tf(X1,X2)=(tf(X1)−tf(X2),tf(X1)+tf(X2))

(X1−X2)i=X1i−X2i
(X1+X2)i=X1i+X2i
將A分爲A1,A2,B分爲B1,B2
則依舊可以歸納證出tf((A1,A2)$(B1,B2))=tf(A1,A2)×tf(B1,B2)
即對任意向量A，B，tf(A$B)=tf(A)×tf(B)
說明當有兩個元素時,tf(a,b)=(a−b,a+b)正好就是我們所需要的變換
然後我們就可以用tf(X1,X2)=(tf(X1)−tf(X2),tf(X1)+tf(X2))來做啦
算出tf(a1)K,在做逆變換得到aK即爲答案

還有不明白的可以看http://apps.topcoder.com/wiki/display/tc/SRM+518

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1<<16,M=1000000007;
ll a[N],inv2;
ll P(ll x,ll y){
    ll tmp=1ll;
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1) tmp=tmp*x%M;
        x=x*x%M;
    }
    return tmp;
}
void trans(int l,int r){
    if(l==r-1)  return ;
    int len=(r-l)/2;
    int mid=l+len;
    trans(l,mid),trans(mid,r);
    for(int i=l;i<mid;++i){
        ll x1=(a[i]-a[i+len]+M)%M,x2=(a[i]+a[i+len])%M;
        a[i]=x1,a[i+len]=x2;
    }
}
void reverse(int l,int r){
    if(r-l==1)  return ;
    int len=(r-l)/2;
    int mid=l+len;
    for(int i=l;i<mid;++i){
        ll x1=a[i],x2=a[i+len];
        a[i]=(x1+x2)*inv2%M;
        a[i+len]=(x2-x1)*inv2%M;
    }
    reverse(l,mid),reverse(mid,r);
}
class Nim{
        public:
        int count(int K, int L){
            inv2=P(2,M-2);
            for(int i=2;i<=L;++i)
                if(!a[i])
                    for(int j=i+i;j<=L;j+=i)    a[j]=1;
            for(int i=2;i<=L;++i)   a[i]^=1;
            int Log=1;
            while(Log<=L)   Log<<=1;
            trans(0,Log);
            for(int i=0;i<Log;++i)  a[i]=P(a[i],K);
            reverse(0,Log);
            return a[0];
        }
}

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