练习赛13.2.混合揹包

混合揹包

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Problem Description

一个旅行者有一个最多能用V公斤的揹包，现在有n件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn，它们的价值分别为C1,C2,...,Cn。有的物品只可以取一次（01揹包），有的物品可以取无限次（完全揹包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重揹包）。求解将哪些物品装入揹包可使这些物品的费用总和不超过揹包容量，且价值总和最大。

Input

输入有多组数据，对于输入每组数据的第一行：二个整数，V(揹包容量，V<=200)，N(物品数量，N<=30)；
第2..N+1行：每行三个整数Wi,Ci,Pi，前两个整数分别表示每个物品的重量，价值，第三个整数若为0，则说明此物品可以购买无数件，若为其他数字，则为此物品可购买的最多件数(Pi)。

Output

对于每组输入输出仅一行，一个数，表示最大总价值。

Sample Input

10 3
2 1 0
3 3 1
4 5 4

Sample Output

11

Hint
选第一件物品1件和第三件物品2件。 

如果将P01、P02、P03混合起来。也就是说，有的物品只可以取一次（01揹包），有的物品可以取无限次（完全揹包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重揹包）。应该怎么求解呢？

01揹包与完全揹包的混合

考虑到在P01和P02中给出的伪代码只有一处不同，故如果只有两类物品：一类物品只能取一次，另一类物品可以取无限次，那么只需在对每个物品应用转移方程时，根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可，复杂度是O(VN)。伪代码如下：

for i=1..N

    if 第i件物品是01揹包

        for v=V..0

            f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

    else if 第i件物品是完全揹包

        for v=0..V

            f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

再加上多重揹包

如果再加上有的物品最多可以取有限次，那么原则上也可以给出O(VN)的解法：遇到多重揹包类型的物品用单调队列解即可。但如果不考虑超过NOIP范围的算法的话，用P03中将每个这类物品分成O(log n[i])个01揹包的物品的方法也已经很优了。

当然，更清晰的写法是调用我们前面给出的三个相关过程。

for i=1..N

    if 第i件物品是01揹包

        ZeroOnePack(c[i],w[i])

    else if 第i件物品是完全揹包

        CompletePack(c[i],w[i])

    else if 第i件物品是多重揹包

        MultiplePack(c[i],w[i],n[i])

在最初写出这三个过程的时候，可能完全没有想到它们会在这里混合应用。我想这体现了编程中抽象的威力。如果你一直就是以这种“抽象出过程”的方式写每一类揹包问题的，也非常清楚它们的实现中细微的不同，那么在遇到混合三种揹包问题的题目时，一定能很快想到上面简洁的解法，对吗？

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
struct ss
{
    int wi;//重量
    int ci;//价值
    int pi;//个数
} dp[300];
int f[300];
int main ()
{
    int V,N;
   while(scanf("%d%d",&V,&N)!=EOF)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=1; i<=N; i++)
            scanf("%d%d%d",&dp[i].wi,&dp[i].ci,&dp[i].pi);
        for(int i=1; i<=N; i++)
        {
            if(dp[i].pi==1)//01揹包
            {
                for(int j=V; j>=dp[i].wi; j--)
                {
                    f[j]=max(f[j-dp[i].wi]+dp[i].ci,f[j]);
                }

            }
            else if(dp[i].pi==0)//完全揹包
            {
                for(int j=dp[i].wi; j<=V; j++)
                {
                    f[j]=max(f[j-dp[i].wi]+dp[i].ci,f[j]);
                }
            }
            else//多重揹包
            {
                for(int j=1; j<=dp[i].pi; j++)
                {
                    for(int k=V; k-j*dp[i].wi>=0; k--)
                    {
                        if(f[k-dp[i].wi]+dp[i].ci>f[k])
                            f[k]=f[k-dp[i].wi]+dp[i].ci;
                    }
                }
            }

        }
        printf("%d\n",f[V]);
    }
    return 0;
}