兩個獨立同分布且元素獨立同分布的序列相加

問題

存在兩個相互獨立的序列 X=X1,X2,⋯,Xn 和 Y=Y1,Y2,⋯,Yn ，若每個序列的各個元素之間相互獨立且服從相同分佈，序列 Z=X+Y=Z1,Z2,⋯,Zn=X1+Y1,X2+Y2,⋯,Xn+Zn 內各個元素是否相互獨立且服從相同分佈？

解答

1. 根據 [1] 的定理 2.3.2（P136）可知，Zi=Xi+Yi,i=1,⋯,n 是相互獨立的。因爲序列 X=X1,X2,⋯,Xn 和 Y=Y1,Y2,⋯,Yn 相互獨立，序列內元素也相互獨立，即 Xi,i=1,⋯,n 與 Yi,i=1,⋯,n 相互獨立；而且我們所接觸的分佈函數是實值連續函數。

   定理 2.3.2 設有 n1+n2+...+nk 個隨機變數 ξ11,...,ξ1n1,ξ21,...,ξ2n2,ξk1,...,ξkn1 。若 ϕi 是 ni 個實變數的實值連續函數，令
   

   >ηi=ϕi(ξi1,...,ξ1ni)(i=1,2,...,k)>

   
   則：

   1. η1,...,ηk 必是隨機變數；
   2. 若假設所有 ηij 相互獨立，則 η1,...,ηk 也相互獨立。

2. Zi,i=1,⋯,n 是服從相同的分佈的。因爲 X 中的元素 Xi,i=1,⋯,n 服從相同的分佈，Y 中的元素 Yi,i=1,⋯,n 也服從相同的分佈（不一定與 X 中的元素所服從的分佈相同），Z 中的每個元素是 X 和 Y 中對應元素之和，所以 Zi=Xi+Yi,i=1,⋯,n 也服從相同分佈。

所以序列 Z=X+Y=Z1,Z2,⋯,Zn=X1+Y1,X2+Y2,⋯,Xn+Zn 內各個元素相互獨立且服從相同分佈。

參考文獻

[1] 樑之舜, 鄧集賢, 楊維權, 司徒登, and 鄧永錄, “概率論及數理統計.” 北京: 高等教育出版社, 1980.