两个独立同分布且元素独立同分布的序列相加

问题

存在两个相互独立的序列 X=X1,X2,⋯,Xn 和 Y=Y1,Y2,⋯,Yn ，若每个序列的各个元素之间相互独立且服从相同分布，序列 Z=X+Y=Z1,Z2,⋯,Zn=X1+Y1,X2+Y2,⋯,Xn+Zn 内各个元素是否相互独立且服从相同分布？

解答

1. 根据 [1] 的定理 2.3.2（P136）可知，Zi=Xi+Yi,i=1,⋯,n 是相互独立的。因为序列 X=X1,X2,⋯,Xn 和 Y=Y1,Y2,⋯,Yn 相互独立，序列内元素也相互独立，即 Xi,i=1,⋯,n 与 Yi,i=1,⋯,n 相互独立；而且我们所接触的分布函数是实值连续函数。

   定理 2.3.2 设有 n1+n2+...+nk 个随机变数 ξ11,...,ξ1n1,ξ21,...,ξ2n2,ξk1,...,ξkn1 。若 ϕi 是 ni 个实变数的实值连续函数，令
   

   >ηi=ϕi(ξi1,...,ξ1ni)(i=1,2,...,k)>

   
   则：

   1. η1,...,ηk 必是随机变数；
   2. 若假设所有 ηij 相互独立，则 η1,...,ηk 也相互独立。

2. Zi,i=1,⋯,n 是服从相同的分布的。因为 X 中的元素 Xi,i=1,⋯,n 服从相同的分布，Y 中的元素 Yi,i=1,⋯,n 也服从相同的分布（不一定与 X 中的元素所服从的分布相同），Z 中的每个元素是 X 和 Y 中对应元素之和，所以 Zi=Xi+Yi,i=1,⋯,n 也服从相同分布。

所以序列 Z=X+Y=Z1,Z2,⋯,Zn=X1+Y1,X2+Y2,⋯,Xn+Zn 内各个元素相互独立且服从相同分布。

参考文献

[1] 梁之舜, 邓集贤, 杨维权, 司徒登, and 邓永录, “概率论及数理统计.” 北京: 高等教育出版社, 1980.