lambda演算

由簡入深，適時複習，溫故知新。 — housir

λ演算基於最簡單的定義函數的思想：
一爲函數抽象λx.E，由λ說明的x在函數體E中出現均爲形參變元。E是一個λ表達式。
一爲函數應用(λx.E)(a),即E中的x均由a置換變成E(a)。

接上一篇 博客 繼續寫點有關lambda演算的東西。

基本函數

• 基本的λ表達式

// 布爾類型
T = λx.λy.x  // True
F = λx.λy.y  // False
// 數字
0=λx.λy.y            //與F的λ表達式相同
1=λx.λy.x y  
2=λx.λy.x(x y)
n=λx.λy.x(x(…(x y)…)       // λy.之後有n個x

• 基本操作函數

// 邏輯操作函數
not = λz.((z F) T)=λz.((zλx.λy.y)(λx.λy.x))
and = λa.λb.((a b)F) = λa.λb.((a b)λx.λy.y))
or  = λa.λb.((a T)b) = λa.λb.((a λx.λy.x)b)  
// 算術操作函數
+ = add = λx.λy.λa.λb.((x a)(y a)b)
* = multiply = λx.λy.λa.((x(y a)))
succ = λn.(λx.λy.n x(x y))                         //後繼函數
zerop = λn.n(λx.F)T =λn.n(λz.λx.λy.y)(λx.λy.y)    //判零函數

此外，還有sqr(冪運算)、identity（同一函數）、positive(取正整數)、neg(取負)、divide(除法)、subtract(-、減法)，pred(前驅)等函數。

示例

下面介紹幾道有關lambda演算的題目，在實踐中理解lambda演算。

判零（zerop）

1.證明：zerop 1 = F

  zerop 1
= (λn.n(λx.F)T ) 1     
= 1 (λx.F)T               β歸約[1/n]
= (λp.λq.pq) (λx.F)T
= (λq.(λx.F)q)T          β歸約[(λx.F)/p]
= (λx.F)T                 β歸約[T/q] 或者η歸約
= F                        η歸約

2.證明：zerop 0 = T

  zerop 0
= (λn.n(λx.F)T ) 0
= 0 (λx.F)T                β歸約[0/n]
= (λp.λq.q) (λx.F)T
= (λq.q)T                  β歸約[(λx.F)/p]
= T                         β歸約[T/q]

加法（add）

核心的λ演算只有單目運算，例如：add 1它返回的結果是函數，再應用到後面的表達式上。這樣，1+2就寫add 1 2，add 1返回“加1函數”應用到2上當然就是3

  1 add 2
= add 1 2
= (λx.λy.λa.λb.((x a)(y a)b)) 1 2
= (λy.λa.λb.((1 a)(y a)b)) 2  // β歸約[1/x]
= λa.λb.((1 a)(2 a)b)  // β歸約[2/y]
= λa.λb.((     (λx.λy.x y) a     )((λx.λy.x (x y)) a)b)   // 1 2 展開
= λa.λb.((λy.a y)       (λy.a (a y))b       )              // β歸約[a/x]
= λa.λb.(       (λy.a y)(a (a b))      )                    // β歸約[b/y]
= λa.λb.(a (a (a b)))                                        // β歸約[(a (a b))/y]
= 3

後繼（succ）

  succ 1
= λn.(λx.λy.n x(x y)) 1
= λx.λy.1 x(x y)               // β歸約[1/n]
= λx.λy.      (λp.λq.p q) x     (x y)
= λx.λy.(λq.x q)(x y)         // β歸約[x/p]
= λx.λy.x(x y)                 // β歸約[(x y)/q]
= 2

Lambda演算能力還是比較強的，Church的理論證明，λ演算（核心λ演算）是個完備的系統，可以表示任何計算函數。初次接觸可能感覺陌生，一旦熟悉之後就會非常簡單。