由於作業需要，開始學習λ演算，順便開始寫博客，也記錄一下學習歷程。
下面簡單介紹λ演算的三個規則（紅色部分非原創，參考自wxb_nudt的博客《Lambda演算學習筆記》）。
λ-項是左結合的，λx.xx＝(λx.x)x
α-變換
α變換表達了λ演算中約束變量的名稱是不重要的，例如λx.x和λy.y是相同的函數。因此，將某個函數中的所有約束變量全部換名是可以的。
首先是一個說明：如果M，N是λ-項，x在M中有自由出現，若以N置換M中所有x的自由出現（M中可能含有x的約束出現），我們得到另一個λ-項，記爲M[x/N]。
α-變換規則如下：
λx.M=λy.M[x/y] 如果y沒有在M中自由出現，並且只要y替換M中的x，都不會被M中的一個λ綁定。
例子：λx.( λx.x)x = λy(λx.x)y
α-變換主要用來表達函數中的變量換名規則，需要注意的是被換名的只能是M（函數體）中變量的自由出現。
β-歸約
β-歸約表達的是函數應用或者函數代入的概念。前面提到MN是合法的λ-項，那麼MN的含義是將M應用到N，通俗的說是將N作爲實參代替M中的約束變量，也就是形參。β-歸約的規則如下：
(λx.M)N-->M[x/N] 如果N中所有變量的自由出現都在M[x/N]中保持自由出現
β-歸約是λ演算中最重要的概念和規則，它是函數代入這個概念的形式化表示。
一些例子如下：
(lx.ly.y x)(lz.u)®ly.y(lz.u)
(lx. x x)(lz.u)®(lz.u) (lz.u)
(ly.y a)((lx. x)(lz.(lu.u) z))®(ly.y a)(lz.(lu.u) z)
(ly.y a)((lx. x)(lz.(lu.u) z))→(ly.y a)((lx. x)(lz. z))
(ly.y a)((lx. x)(lz.(lu.u) z))→((lx. x)(lz.(lu.u) z)) a
η-變換（η-conversion）
η-變換表達了“外延性”（extensionality）的概念，在這種上下文中，兩個函數被認爲是相等的“當且僅當”對於所有的參數，它們都給出同樣的結果。我理解爲，對於所有的實參，通過β-歸約都能得到同樣的λ-項，或者使用α-變換進行換名後得到同樣的λ-項。
例如λx.fx與f相等，如果x沒有在f中自由出現。
由β-歸約，對所有的 y 有 (λ x . f x) y = f y，可得 λ x . f x = f，故η-變換成立。
兩道作業題目及解答如下(如有錯誤，歡迎指正)：
證明：YF=λg.(λf.g(ff))(λf.g(ff))F
=(λf.F(ff))(λf.F(ff)) (1)α變換，[g/F]
=ww (2)令w=(λf.F(ff))
=(λf.F(ff))w
=F(ww) (3)β規約，將w代入f
=F(YF) 由(2)知ww==YF
證畢。
2. 利用λ規約法則將(λp.λq.λr.p q r)(λp.λq.p q r)化到最簡
解：(λp.λq.λr.p q r)(λp.λq.p q r)
=(λp.λq.λr.p qr)(λq.r q) β規約，將r代入p
=(λp.λq.λr.p qr)r η變換
=(λp.λq.λw.p q w)r α變換，[r/w]
=λq.λw.r q w β規約，將r代入p