緒論

觀測誤差

測量平差學科的研究對象

測量平差的簡史和發展

本課程的任務和內容

誤差分佈與精度指標

正態分佈

一維正態分佈

服從正態分佈的一維隨機變量 X 的概率密度爲

$f (x) = 1 2 π - - \sqrt σ * e - ( x - μ ) 2 2 σ 2$
記爲 X～ N(μ,σ)。
正態隨機變量 X 的數學期望 E( X)=μ;
X 的方差 D(X)=σ
n維正態分佈

$f (x 1, x 2, \dots, x n) = 1 ( 2 π ) n 2 | D X X | 1 2 * e - ( x - μ x ) T ( x - μ x ) 2 D X X$
隨機向量X的數學期望 μx 爲：

$μ X = μ 1 μ 2 \dots μ n = E (X 1) E (X 2) \dots E (X n)$
隨機向量X的方差 DXX 爲：
$D X X = σ 2 X 1 σ X 2 X 1 \dots σ X n X 1 σ X 1 X 2 σ 2 X 2 σ X n X 2 \dots \dots \dots σ X 1 X n σ X 2 X n σ 2 X n$

偶然誤差的規律性

衡量精度的指標

方差和中誤差
平均誤差
或然誤差
極限誤差
相對誤差

精度、準確度與精確度

精度

協方差的定義和概念
設有觀測值X和Y，則X關於Y的協方差定義爲：
$σ X Y = E [(X - E (X)) (Y - E (Y))]$
設Δxi 是觀測值xi 的真誤差，Δyi 是觀測值yi 的真誤差，協方差σxy 是這兩種真誤差所有可能取值的乘積的理論平均值，

σ x y = lim n \to + \infty \sum n i = 1 ( Δ x i Δ y i ) n = lim n \to + \infty 1 n (Δ x 1 Δ y 1 + Δ x 2 Δ y 2 + \dots + Δ x i Δ y i)

2. 觀測向量的精度指標-協方差陣
設有觀測向量

X=[x1x2…xn]T ，其協方差陣爲：

D X X = σ 2 x 1 σ x 2 x 1 \dots σ x n x 1 σ x 1 x 2 σ 2 x 2 σ x n x 2 \dots \dots \dots σ x 1 x n σ x 2 x n \dots σ 2 x n = E [(X - E (X)) (X - E (X)) T]

3. 互協方差陣
如果有兩組觀測向量X和Y，他們的數學期望分別爲E(X)和E(Y)。若記

Z n + r 1 = X Y

則方差Z的方程陣

DZZ 爲

D Z Z n + r n + r = D X X n n D Y X r n D X Y n r D Y Y r r

其中

DXX 和

DYY 分別爲X和Y的協方差陣,稱

DXY 爲觀測值向量 X 關於 Y 的互協方差陣：

D X Y = σ x 1 y 1 σ x 2 y 1 \dots σ x n y 1 σ x 1 y 2 σ x 2 y 2 σ x n y 2 \dots \dots \dots σ x 1 y r σ x 2 y r \dots σ x n y r = E [(X - μ x) (Y - μ Y) T] = D T Y X

準確度

精確度

精確度是精度和準確度的合成,是指觀測結果與其真值的接近程度, 包括觀測結果與其數學期望接近程度和數學期望與其真值的偏差。精確度的衡量指標爲均方誤差:

M S E (X) = E (X - X ¯)

測量不確定度

協方差傳播律及權

數學期望的傳播

協方差傳播律

觀測值線性函數的方差

設有觀測值Xn 1 ，其數學期望爲μXn 1 ，協方差陣爲DXXn n ,即

X = X 1 μ 2 \dots μ n ， μ X = μ 1 μ 2 \dots μ n = E (X 1) E (X 2) \dots E (X n) = E (X ）

D X X = E [(X - μ X) (X - μ X) T] = σ 21 σ 21 \dots σ n 1 σ 12 σ 22 σ n 2 \dots \dots \dots σ 1 n σ 2 n \dots σ 2 n (3-2-2)

其中

σi 爲

Xi 的方差 ,

σij 爲

Xi 與

Xj 的協方差 , 又設有 X 的線性函數爲

Z t 1 = K 1 n X n 1 + k 0 11

式中：

K 1 n = [k 1, k 2, \dots, k n]

公式(3-2-2)的純量形式爲

Z = k 1 X 1 + k 2 X 2 + \dots + k n X n + k 0

則：
Z 的數學期望：

E (Z) = K μ X + k 0

Z 的方差：

D Z Z 11 = σ 2 Z = K D X X K T (3-2-4)

將(3-2-4)寫成純量形式：

D Z Z 11 = = σ 2 Z = k 21 σ 21 + k 22 σ 22 + \dots + k 2 n σ 2 n + 2 k 1 k 2 σ 12 + 2 k 1 k 3 σ 13 + \dots + 2 k 1 k n σ 1 n + \dots + 2 k n - 1 k n σ n - 1, n

即協方差傳播率
### 多個觀測值線性函數的協方差陣
若令

Z t 1 = Z 1 Z 2 \dots Z t ， K t n = k 11 k 21 \dots k t 1 k 12 k 22 k t 2 \dots \dots \dots k 1 n k 2 n \dots k t n ， K 0 t 1 = k 10 k 20 \dots k t 0

Z t 1 = K t n X n 1 + K 0 t 1

純量展開式爲：

Z 1 = k 11 X 1 + k 12 X 2 + \dots + k 1 n X n + k 10 Z 2 = k 22 X 2 + k 22 X 2 + \dots + k 2 n X n + k 20 \dots \dots \dots Z t = k t t X t + k t 2 X 2 + \dots + k t n X n + k t 0

Z 的數學期望爲

E (Z) = K μ X + K 0

Z 的協方差陣

D Z Z t t = K t n D X X n n K T n t

### 非線性函數的協方差陣
設有

Xn 1 的非線性函數：

Z = f (X) (也 寫 爲 Z = f (X 1, X 2, \dots, X n))

則Z的方程

DZZ 爲：

D Z Z = K D X X K T

其中：

K = [k 1 k 2 \dots k n] = [(\partial f \partial X 1) 0 (\partial f \partial X 2) 0 \dots (\partial f \partial X n) 0]

t個非線性函數的協方差陣

若有t個非線性函數

Z 1 = Z 2 = \dots Z t = f 1 (X 1, X 2, \dots, X n) f 2 (X 1, X 2, \dots, X n) f t (X 1, X 2, \dots, X n) ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

則

Zt 1 的協方差陣

D Z Z = K D X X K T

其中：

K t n = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ (\partial f 1 \partial X 1) 0 (\partial f 2 \partial X 1) 0 ⋮ (\partial f t \partial X 1) 0 (\partial f 1 \partial X 2) 0 (\partial f 2 \partial X 2) 0 (\partial f t \partial X 2) 0 \dots \dots \dots (\partial f 1 \partial X n) 0 (\partial f 2 \partial X n) 0 ⋮ (\partial f t \partial X n) 0 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

協方差傳播律的應用

權與定權的常用方法

協因數和協因數傳播律

協因數與協因數陣

觀測值的權與它的方差成反比, 設有觀測值L_{i}和L_{j},它們的方差分別爲σi 和σj ,它們之間的協方差爲σij ,令

Q i i = 1 p i = σ 2 i σ 2 0

Q j j = 1 p j = σ 2 j σ 2 0

Q i j = σ i j σ 2 0

稱

Qii 和

Qjj 分別稱爲

Li 和

Lj 的協因數或權倒數，稱

Qij 爲

Li 關於

Lj 的協因數或相關權倒數。
假定有觀測值向量（或者觀測值向量函數）

Xn 1 和

Yr 1 ,他們的方差陣分別爲

DXX 和

DYY ，X關於Y的互互協方差陣爲

DXY ，令

Q X X n n = 1 σ 2 0 D X X

Q Y Y r r = 1 σ 2 0 D Y Y

Q X Y n r = 1 σ 2 0 D X Y

則稱QXX 和QYY 分別爲X和Y的協因數陣，QXY 爲X關於Y的互協因數陣（相關權逆陣）。

協因數傳播律

設有觀測值 X, 已知它的協因數陣爲 QXX , 又設有 X 的函數 Y 和 Z：

Y = F X + F 0

Z = K X + K 0

按協方差傳播律導出協因數陣爲：

Q Y Y = F Q X X F T

Q Z Z = K Q X X K T

Q Y Z = F Q X X K T

這就是觀測值的協因數陣與其線性函數的協因數陣的關係式,通常稱之爲協因數傳播律,或稱之爲權逆陣傳播律。
由真誤差計算中誤差及其實際應用

系統誤差的傳播

前幾節所討論的問題,是以觀測值只含有偶然誤差爲前提的.
本節討論觀測值中同時含有系統誤差時,觀測值綜合誤差的方差(簡稱綜合方差) 估計及系統誤差的傳播規律。

觀測值的系統誤差與綜合方差

設有觀測值 L,觀測量的真值爲Ln 1˜ ,則L的綜合誤差可以定義爲：

Ω = L ˜ - L

如果綜合誤差 Ω中只包含有偶然誤差Δ, 由偶然誤差的特性可知其數學期望應爲 E(Ω)= E(Δ) = 0, 如果 Ω中除包含偶然誤差Δ外, 還包含有系統誤差 ε,即

Ω = Δ + ϵ = L ˜ - L

此時,由於系統誤差 ε不是隨機變量, 所以 Ω的數學期望爲

E (Ω) = E (Δ) + ϵ = ϵ \neq 0

又因爲

ϵ = E (Ω) = E （ L ˜ - L ） = L ˜ - E (L)

- ε也就是觀測值上的數學期望對於觀測量真值的偏差值,
- L 包含的系統誤差愈小（ε愈小），則 L 的數學期望對於真值的偏差值愈小
當觀測值 L 中既存在偶然誤差Δ,又存在系統誤差時, 其觀測值的綜合方差

DLL 是用均方誤差表示的

D L L = M S E (L) = E (L - L ˜) = E (Ω 2) = σ 2 + ε 2

觀測值的綜合方差等於它的方差

σ2 與系統誤差的平方

ε2 之和

系統誤差的傳播

線性函數
設已知觀測值Li ( i = 1,2, ⋯, n) 的系統誤差爲

$ϵ i = E (Ω i) = L i ˜ - E (L i) (i = 1, 2, \dots, n)$
其中，Li˜ 和Ωi 是Li 所對應的觀測量的真值和綜合誤差.
設有線性函數
$Z = k 1 L 1 + k 2 L 2 + \dots + k n L n + k 0$
Z的綜合誤差ΩZ 與各個Li 的綜合誤差 Ωi 之間的關係式爲
$Ω Z = k 1 Ω 1 + k 2 Ω 2 + \dots + k n Ω n$
線性函數的系統誤差的傳播公式:
$ε Z = E (Ω Z) = p = \sum i = 1 n k i ε i$
非線性函數
函數 Z 是非線性形式：

$Z = f (L 1, L 2, \dots, L n)$
可以用它們的微分關係代替它們的誤差之間的關係,即有
$Ω Z = \partial Z \partial L 1 Ω 1 + \partial Z \partial L 2 Ω 2 + \dots + \partial Z \partial L n Ω n$

系統誤差與偶然誤差聯合傳播

系統誤差爲常熟、常系差的情況
對於線性函數

$Z = k 1 L 1 + k 2 L 2 + \dots + k n L n$
與綜合誤差之間的關係爲
$Ω Z = k 1 Ω 1 + k 2 Ω 1 + \dots + k n Ω n$
Z 的綜合方差爲：
$D Z Z = \sum i = 1 n k 2 i σ 2 i + \sum i = 1 n k 2 i ε 2 i$
隨機系統誤差情況
設觀測值 L的綜合誤差是

$Ω = Δ + ϵ$
ϵ 爲隨機性系統誤差,一般與Δ相互獨立,若已知Δ的偶然方差爲σ2 ,ϵ 的系統方差爲σ2ϵ , 則可按協方差傳播律,得
$σ 2 L = σ 2 Ω = σ 2 + σ 2 ϵ$
有觀測值線性函數
$Z = k 1 L 1 + k 2 L 2 + \dots + k n L n$
與綜合誤差之間的關係爲
$Ω Z = k 1 Ω 1 + k 2 Ω 1 + \dots + k n Ω n$
Z 的綜合方差爲：
$D Z Z = \sum i = 1 n k 2 i σ 2 i + D Z Z = \sum i = 1 n k 2 i σ 2 ϵ i$

平差數學模型與最小二乘原理

測量平差概述

函數模型

條件平差–條件方程

簡接平差–誤差方程

附有參數的條件平差

附有限制條件的間接平差

函數模型的線性化

測量平差的數學模型

參數估計與最小二乘原理

函數模型 (一般)	函數模型 (線性)	數學模型
條件平差	F(L˜)=0	Ar nL˜n 1+A0r 1=0r 1或者AΔ+W=0
簡接平差	L˜n 1=F(X˜)	L˜n 1=Bn tX˜t 1+dn 1或者l+Δ=BX
附有參數的條件平差	Ft 1(L˜ X˜)=0	At nL˜n 1+Bt uX˜u 1+A0t 1=0或者AΔ+BX˜+W=0
附有限制條件的間接平差	L˜u 1=F(X˜u 1)Φs 1(X˜)=0⎫⎭⎬⎪⎪	L˜n 1=Bn uX˜u 1+dn 1或l+Δ=BX˜Cs uX˜u 1+Wxs 1=0s 1⎫⎭⎬⎪⎪

測量學—誤差理論與測量平差基礎

緒論

觀測誤差

測量平差學科的研究對象

測量平差的簡史和發展

本課程的任務和內容

誤差分佈與精度指標

正態分佈

偶然誤差的規律性

衡量精度的指標

精度、 準確度與精確度

精度

準確度

精確度

測量不確定度

協方差傳播律及權

數學期望的傳播

協方差傳播律

觀測值線性函數的方差

t個非線性函數的協方差陣

協方差傳播律的應用

權與定權的常用方法

協因數和協因數傳播律

協因數與協因數陣

協因數傳播律

系統誤差的傳播

觀測值的系統誤差與綜合方差

系統誤差的傳播

系統誤差與偶然誤差聯合傳播

平差數學模型與最小二乘原理

測量平差概述

函數模型

條件平差–條件方程

簡接平差–誤差方程

附有參數的條件平差

附有限制條件的間接平差

函數模型的線性化

測量平差的數學模型

參數估計與最小二乘原理

條件平差

條件平差原理

條件方程

精度評定

條件平差公式彙編和水準網平差示例

附有參數的條件平差

附有參數的條件平差原理

精度評定

公式彙編和示例

間接平差

間接平差原理

誤差方程

精度評定

間接平差公式彙編和水準網平差示例

間接平差特例— — —直接平差

三角網座標平差

測邊網座標平差

導線網間接平差

GPS 網平差

附有限制條件的間接平差

附有限制條件的間接平差原理

精度評定

公式彙編和示例

概括平差函數模型

基本平差方法的概括函數模型

附有限制條件的條件平差原理

精度評定

各種平差方法的共性與特性

平差結果的統計性質

誤差橢圓

概述

點位誤差

誤差曲線

誤差橢圓

相對誤差橢圓

點位落入誤差橢圓內的概率

平差系統的統計假設檢驗

統計假設檢驗概述

統計假設檢驗的基本方法

誤差分佈的假設檢驗

平差模型正確性的統計檢驗

精度、準確度與精確度