歐拉角與萬向節鎖之理論解析
翻了一大堆博客，很少有對萬向節鎖介紹清楚的。這裏談談我對萬向節鎖的通俗認識。
前提
- 我們這裏採用左手座標系（與Direct3D所使用的一樣）。左手座標系如下圖：
- 我們使用的點用行向量來表示（與Direct3D所使用的一樣），所以只能是vector*matrix，而不能是matrix*vector。
- 由於只考慮旋轉，所以這裏行向量是三維的，矩陣也是3x3的（在Direct3D中，由於要考慮平移，所以行向量是四維的，矩陣是4x4的）。
歐拉角的相關知識
- 所謂歐拉角就是繞x軸、y軸、z軸旋轉的角度。（嗯，通俗易懂==）
- 由於繞軸的旋轉順序不同，得到的結果也不一定一樣；
比如我們把點（1，0，0）繞x、y、z軸順序分別旋轉pi/2、pi/2、0，得到的結果爲（0，0，-1）；
如果我們把點（1，0，0）繞y、x、z軸順序分別旋轉pi/2、pi/2、0，得到的結果爲（0，1，0）；
所以爲了方便分析，我們這裏以x、y、z的順序來對點進行旋轉。
矩陣計算
- 前面我們旋轉一個點是自己在腦子裏想象着轉的，如果使用矩陣計算的話該如何計算？
我們都知道可以使用旋轉矩陣來計算，我這裏把繞x、y、z分別旋轉θ1、θ2、θ3的旋轉矩陣貼在下面：
我們用Mat1、Mat2、Mat3來表示上面三個矩陣，用Pos來表示要旋轉的點的座標，最後旋轉後的結果應該爲Pos*Mat1*Mat2*Mat3。 - 矩陣計算所繞的軸是固定於世界的座標軸還是物體自身的座標軸？
- 可以用點（0，0，1）繞x、y、z軸順序分別旋轉pi/6、pi、0，來驗證，使用上面介紹的矩陣計算得到的結果爲（0，-0.5，-0.866），這跟使用固定於世界的座標軸計算的結果是一致的。如果使用自身的座標軸，結果應該爲（0，0.5，-0.866）。所以這裏使用的確實是固定於世界的座標軸。
- 雖然是固定於世界的座標軸，但是有一點要注意，就是後面的旋轉軸不但會旋轉前面得到的點座標，同樣也會旋轉前面已經用過的旋轉軸。所以嚴謹來說，應該是當前旋轉矩陣使用的是固定於世界的座標軸。
- 矩陣計算與萬向節的對應關係
- Pos*Mat1*Mat2*Mat3是有層級關係的，Mat1（繞x軸）處於內層，Mat3（繞z軸）處於外層，外層會影響內層的結果；
- 萬向節也是相似的，內層的旋轉軸對應於內層的旋轉矩陣，外面的旋轉軸對應外層的矩陣。外層的旋轉軸會改變內層的旋轉結果（這與矩陣運算也是一致的）；這裏給張萬向節的圖：
- 萬向節的旋轉結果與矩陣計算的結果是一樣的，給定三個旋轉角度，矩陣計算與旋轉萬向節可以得到一致的結果；
- 萬向節與矩陣計算的區別在於：矩陣計算只能是從左向右計算！這是由數學計算規則決定的（計算矩陣合併最後也還是要左乘）。而萬向節可以在給定旋轉角度的情況下，以任意次序旋轉（當然，前提是萬向節的層級關係必須和矩陣計算一致）。比如：可以先旋轉外層再旋轉內層，也可以先旋轉內層再旋轉外層（這與矩陣計算的次序一致）。
萬向節鎖產生的原因
- 對於矩陣運算Pos*Mat1*Mat2*Mat3，旋轉角分別爲θ1（繞x）、θ2（繞y）、θ3（繞z），我們可以合併右邊的三個矩陣，假設Mat = Mat1*Mat2*Mat3，當θ2 = PI/2的時候，Mat的值爲：
可以看到此時旋轉矩陣只與θ1-θ3有關，也就是隻能影響一個維度的旋轉，也就是丟失了一個旋轉自由度，這就是所謂的萬向節鎖。 - 對於萬向節旋轉來產生萬向節鎖更簡單（因爲不用推導==），只需要將處於中間層的旋轉軸旋轉PI/2，就能得到萬向節鎖，此時不論旋轉內層旋轉軸還是旋轉外層旋轉軸，都只能在同一個自由度上旋轉。可以看這個視頻來見識一下真正的萬向節鎖！
後記
有些博客說歐拉角是繞自身的x、y、z軸旋轉的，我也不知道是怎麼得出這個結論的==
這些都是我自己的理解，如有錯誤還請大家指正。