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求最短路徑的算法有許多種，除了排序外，恐怕是OI界中解決同一類問題算法最多的了。最熟悉的無疑是Dijkstra，接着是Bellman-Ford，它們都可以求出由一個源點向其他各點的最短路徑；如果我們想要求出每一對頂點之間的最短路徑的話，還可以用Floyd-Warshall。
SPFA是這篇日誌要寫的一種算法，它的性能非常好，代碼實現也並不複雜。特別是當圖的規模大，用鄰接矩陣存不下的時候，用SPFA則可以很方便地面對臨接表。每個人都寫過廣搜，SPFA的實現和廣搜非常相似。
如何求得最短路徑的長度值？
首先說明，SPFA是一種單源最短路徑算法，所以以下所說的“某點的最短路徑長度”，指的是“某點到源點的最短路徑長度”。
我們記源點爲S，由源點到達點i的“當前最短路徑”爲D[i]，開始時將所有D[i]初始化爲無窮大，D[S]則初始化爲0。算法所要做的，就是在運行過程中，不斷嘗試減小D[]數組的元素，最終將其中每一個元素減小到實際的最短路徑。
過程中，我們要維護一個隊列，開始時將源點置於隊首，然後反覆進行這樣的操作，直到隊列爲空：
(1)從隊首取出一個結點u，掃描所有由u結點可以一步到達的結點，具體的掃描過程，隨存儲方式的不同而不同；
(2)一旦發現有這樣一個結點，記爲v，滿足D[v] > D[u] + w(u, v)，則將D[v]的值減小，減小到和D[u] + w(u, v)相等。 其中，w(u, v)爲圖中的邊u-v的長度，由於u-v必相鄰，所以這個長度一定已知（不然我們得到的也不叫一個完整的 圖）；這種操作叫做鬆弛。
引用內容
鬆弛操作的原理是著名的定理：“三角形兩邊之和大於第三邊”，在信息學中我們叫它三角不等式。所謂對i,j進行
鬆弛，就是判定是否d[j]>d[i]+w[i,j]，如果該式成立則將d[j]減小到d[i]+w[i,j]，否則不動。
(3)上一步中，我們認爲我們“改進了”結點v的最短路徑，結點v的當前路徑長度D[v]相比於以前減小了一些，於是，與v相連的一些結點的路徑長度可能會相應地減小。注意，是可能，而不是一定。但即使如此，我們仍然要將v加入到隊列中等待處理，以保證這些結點的路徑值在算法結束時被降至最優。當然，如果連接至v的邊較多，算法運行中，結點v的路徑長度可能會多次被改進，如果我們因此而將v加入隊列多次，後續的工作無疑是冗餘的。這樣，就需要我們維護一個bool數組Inqueue[]，來記錄每一個結點是否已經在隊列中。我們僅將尚未加入隊列的點加入隊列。
算法能否結束？
對於不存在負權迴路的圖來說，上述算法是一定會結束的。因爲算法在反覆優化各個最短路徑長度，總有一個時刻會進入“無法再優化”的局面，此時一旦隊列讀空，算法就結束了。然而，如果圖中存在一條權值爲負的迴路，就糟糕了，算法會在其上反覆運行，通過“繞圈”來無休止地試圖減小某些相關點的最短路徑值。假如我們不能保證圖中沒有負權迴路，一種“結束條件”是必要的。這種結束條件是什麼呢？
思考Bellman-Ford算法，它是如何結束的？顯然，最樸素的Bellman-Ford算法不管循環過程中發生了什麼，一概要循環|V|-1遍才肯結束。憑直覺我們可以感到，SPFA算法“更聰明一些”，就是說我們可以猜測，假如在SPFA中，一個點進入隊列——或者說一個點被處理——超過了|V|次，那麼就可以斷定圖中存在負權迴路了。
最短路徑本身怎麼輸出？
在一幅圖中，我們僅僅知道結點A到結點E的最短路徑長度是73，有時候意義不大。這附圖如果是地圖的模型的話，在算出最短路徑長度後，我們總要說明“怎麼走”纔算真正解決了問題。如何在計算過程中記錄下來最短路徑是怎麼走的，並在最後將它輸出呢？
Path[]數組，Path[i]表示從S到i的最短路徑中，結點i之前的結點的編號。注意，是“之前”，不是“之後”。最短路徑算法的核心思想成爲“鬆弛”，原理是三角形不等式，方法是上文已經提及的。我們只需要在藉助結點u對結點v進行鬆弛的同時，標記下Path[v] = u，記錄的工作就完成了。
輸出時可能會遇到一點難處，我們記的是每個點“前面的”點是什麼，輸出卻要從最前面往最後面輸，這不好辦。其實很好辦，見如下遞歸方法：
程序代碼
SPFA的代碼怎麼寫？
我寫了鄰接表和鄰接矩陣兩種，兩者想像起來是那麼的不同，算法的思路上實在區別不大，只是用不同方式詮釋“掃描”的過程而已。只給出SPFA的單個函數，我不覺得很容易看懂，但是我仍然把兩個程序的SPFA函數放在下面。在日誌的結尾處，有一個完整版文件下載。貼程序，首先是鄰接表的：
程序代碼
然後是鄰接矩陣的：
程序代碼
另：http://blog.csdn.net/bobcowwocb/archive/2009/09/14/4550188.aspx