本文目錄如下：
1.k近鄰算法的基本概念，原理以及應用
2.k近鄰算法中k的選取，距離的度量以及特徵歸一化的必要性
3.k近鄰法的實現：kd樹原理的講解
4.kd樹詳細例子講解
5.kd樹的不足以及最差情況舉例
6.k近鄰方法的一些個人總結
一.k近鄰算法的基本概念，原理以及應用
k近鄰算法是一種基本分類和迴歸方法。本篇文章只討論分類問題的k近鄰法。
K近鄰算法，即是給定一個訓練數據集，對新的輸入實例，在訓練數據集中找到與該實例最鄰近的K個實例，這K個實例的多數屬於某個類，就把該輸入實例分類到這個類中。（這就類似於現實生活中少數服從多數的思想）根據這個說法，咱們來看下引自維基百科上的一幅圖：
- 如果K=3，綠色圓點的最鄰近的3個點是2個紅色小三角形和1個藍色小正方形，少數從屬於多數，基於統計的方法，判定綠色的這個待分類點屬於紅色的三角形一類。
- 如果K=5，綠色圓點的最鄰近的5個鄰居是2個紅色三角形和3個藍色的正方形，還是少數從屬於多數，基於統計的方法，判定綠色的這個待分類點屬於藍色的正方形一類。
從上面例子我們可以看出，k近鄰的算法思想非常的簡單，也非常的容易理解，那麼我們是不是就到此結束了，該算法的原理我們也已經懂了，也知道怎麼給新來的點如何進行歸類，只要找到離它最近的k個實例，哪個類別最多即可。
哈哈，沒有這麼簡單啦，算法的核心思想確實是這樣，但是要想一個算法在實際應用中work，需要注意的不少額~比如k怎麼確定的，k爲多少效果最好呢？所謂的最近鄰又是如何來判斷給定呢？哈哈，不要急，下面會一一講解！
二.k近鄰算法中k的選取以及特徵歸一化的重要性
- 選取k值以及它的影響
k近鄰的k值我們應該怎麼選取呢？
如果我們選取較小的k值，那麼就會意味着我們的整體模型會變得複雜，容易發生過擬合！恩~結論說完了，太抽象了吧你，不上圖講解號稱通俗講解的都是流氓~好吧，那我就上圖來講解
假設我們選取k=1這個極端情況，怎麼就使得模型變得複雜，又容易過擬合了呢？
假設我們有訓練數據和待分類點如下圖：
上圖中有倆類，一個是黑色的圓點，一個是藍色的長方形，現在我們的待分類點是紅色的五邊形。
好，根據我們的k近鄰算法步驟來決定待分類點應該歸爲哪一類。我們由圖中可以得到，很容易我們能夠看出來五邊形離黑色的圓點最近，k又等於1，那太好了，我們最終判定待分類點是黑色的圓點。
由這個處理過程我們很容易能夠感覺出問題了，如果k太小了，比如等於1，那麼模型就太複雜了，我們很容易學習到噪聲，也就非常容易判定爲噪聲類別，而在上圖，如果，k大一點，k等於8，把長方形都包括進來，我們很容易得到我們正確的分類應該是藍色的長方形！如下圖：
所謂的過擬合就是在訓練集上準確率非常高，而在測試集上準確率低，經過上例，我們可以得到k太小會導致過擬合，很容易將一些噪聲（如上圖離五邊形很近的黑色圓點）學習到模型中，而忽略了數據真實的分佈！
如果我們選取較大的k值，就相當於用較大鄰域中的訓練數據進行預測，這時與輸入實例較遠的（不相似）訓練實例也會對預測起作用，使預測發生錯誤，k值的增大意味着整體模型變得簡單。
k值增大怎麼就意味着模型變得簡單了，不要急，我會解釋的！哈哈。
我們想，如果k=N（N爲訓練樣本的個數）,那麼無論輸入實例是什麼，都將簡單地預測它屬於在訓練實例中最多的類。這時，模型是不是非常簡單，這相當於你壓根就沒有訓練模型呀！直接拿訓練數據統計了一下各個數據的類別，找最大的而已！這好像下圖所示：
我們統計了黑色圓形是8個，長方形個數是7個，那麼哈哈，如果k=N，我就得出結論了，紅色五邊形是屬於黑色圓形的（明顯是錯誤的好不，捂臉！）
這個時候，模型過於簡單，完全忽略訓練數據實例中的大量有用信息，是不可取的。
恩，k值既不能過大，也不能過小，在我舉的這個例子中，我們k值的選擇，在下圖紅色圓邊界之間這個範圍是最好的，如下圖：
（注：這裏只是爲了更好讓大家理解，真實例子中不可能只有倆維特徵，但是原理是一樣的1，我們就是想找到較好的k值大小）
那麼我們一般怎麼選取呢？李航博士書上講到，我們一般選取一個較小的數值，通常採取 交叉驗證法來選取最優的k值。（也就是說，選取k值很重要的關鍵是實驗調參，類似於神經網絡選取多少層這種，通過調整超參數來得到一個較好的結果）
2.距離的度量
在上文中說到，k近鄰算法是在訓練數據集中找到與該實例最鄰近的K個實例，這K個實例的多數屬於某個類，我們就說預測點屬於哪個類。
定義中所說的最鄰近是如何度量呢？我們怎麼知道誰跟測試點最鄰近。這裏就會引出我們幾種度量倆個點之間距離的標準。
我們可以有以下幾種度量方式：
其中當p=2的時候，就是我們最常見的歐式距離，我們也一般都用歐式距離來衡量我們高維空間中倆點的距離。在實際應用中，距離函數的選擇應該根據數據的特性和分析的需要而定，一般選取p=2歐式距離表示，這不是本文的重點。
恩，距離度量我們也瞭解了，下面我要說一下各個維度歸一化的必要性！
3.特徵歸一化的必要性
首先舉例如下，我用一個人身高(cm)與腳碼（尺碼）大小來作爲特徵值，類別爲男性或者女性。我們現在如果有5個訓練樣本，分佈如下：
A [(179,42),男] B [(178,43),男] C [(165,36)女] D [(177,42),男] E [(160,35),女]
通過上述訓練樣本，我們看出問題了嗎？
很容易看到第一維身高特徵是第二維腳碼特徵的4倍左右，那麼在進行距離度量的時候，我們就會偏向於第一維特徵。這樣造成倆個特徵並不是等價重要的，最終可能會導致距離計算錯誤，從而導致預測錯誤。口說無憑，舉例如下：
現在我來了一個測試樣本 F(167,43)，讓我們來預測他是男性還是女性，我們採取k=3來預測。
下面我們用歐式距離分別算出F離訓練樣本的歐式距離，然後選取最近的3個，多數類別就是我們最終的結果，計算如下：
由計算可以得到，最近的前三個分別是C,D,E三個樣本，那麼由C,E爲女性，D爲男性，女性多於男性得到我們要預測的結果爲女性。
這樣問題就來了，一個女性的腳43碼的可能性，遠遠小於男性腳43碼的可能性，那麼爲什麼算法還是會預測F爲女性呢？那是因爲由於各個特徵量綱的不同，在這裏導致了身高的重要性已經遠遠大於腳碼了，這是不客觀的。所以我們應該讓每個特徵都是同等重要的！這也是我們要歸一化的原因！歸一化公式如下：
講到這裏，k近鄰算法基本內容我們已經講完了。除去之後爲了提高查找效率提出的kd樹外，算法的原理，應用等方面已經講解完畢，由於每篇文章內容不宜太多，kd樹等知識下篇講解，這裏總結一下本文講的內容。
三.本文的一點總結
1.我們提出了k近鄰算法，算法的核心思想是，即是給定一個訓練數據集，對新的輸入實例，在訓練數據集中找到與該實例最鄰近的K個實例，這K個實例的多數屬於某個類，就把該輸入實例分類到這個類中。更通俗說一遍算法的過程，來了一個新的輸入實例，我們算出該實例與每一個訓練點的距離（這裏的複雜度爲0(n)比較大，所以引出了下文的kd樹等結構），然後找到前k個，這k個哪個類別數最多，我們就判斷新的輸入實例就是哪類！
2.與該實例最近鄰的k個實例，這個最近鄰的定義是通過不同距離函數來定義，我們最常用的是歐式距離。
3.爲了保證每個特徵同等重要性，我們這裏對每個特徵進行歸一化。
4.k值的選取，既不能太大，也不能太小，何值爲最好，需要實驗調整參數確定！
本文講解結束了，真心希望對大家理解有幫助！歡迎大家指錯交流~
參考：
李航博士《統計學習方法》
從K近鄰算法、距離度量談到KD樹、SIFT+BBF算法
- 結構之法 算法之道 - 博客頻道 - CSDN.NET
致謝：
德川，繼豪，皓宇，施琦