二叉樹
二叉樹（Binary Tree）是樹的一種特殊形式，也就是每個節點之下最多擁有2個孩子，相應地若最多不超過M個孩子，那就成爲M叉樹，但實際上我們統稱爲多叉樹。對於二叉樹，常用的定理有四條：
- 深度爲i的二叉樹最多含有
2i−1 個節點； - 第i層至多有
2i−1 個節點； 對於任意一顆二叉樹，若其終端節點數爲
n0 ,度爲2的節點數爲n2 ,則n0=n2+1 。證明如下：（1）n=n0+n1+n2
（2）n=B+1（B爲分支總數）
（3）B=n1+2n2
由上述三式即可得出此定理。對於一棵完全二叉樹（除最後一層外每一層都爲滿二叉樹）而言，其葉子節點數具有以下關係：
n0=n2（當n爲偶數時）或n+12（當n爲奇數時）
二叉樹的存儲
在將二叉樹的存儲之前，我們先了解一下樹的存儲方式，常用輸的存儲方式有三種，在介紹之前，我們先把樹的例子放出來，再來看各種存儲方式的不同。
- 雙親表示法
所謂雙親表示法就是會設置一個指示器來指向其雙親所在的位置。那麼我最終應當會存儲爲一個如下的數組：
- 優點：Parent(T,x)可以很快找到雙親
- 缺點：求節點的孩子時就必須遍歷整個結構
- 孩子表示法
所謂孩子表示法就是會在數據後面存儲其孩子節點，但也有兩種方式：
- 方法一：
但是這樣的方法比較浪費空間，因爲你並不知道多叉樹中每個節點一共有多少個孩子節點，而不存在的節點，也必須進行保存爲null； - 方法二：
這樣的方法相對於第一種加入了degree的值，可以更節省空間，但是對樹進行插入或刪除等的操作的時候卻增加了複雜度。
- 方法一：
- 孩子兄弟表示法
孩子兄弟表示法也是二叉樹的一種表示方法，數據的兩端分別存放其左節點的孩子和其兄弟節點。
其數據結構也可以很方便的定義：
typedef struct CSNode{
ElementType data;
Struct CSNode *firstchild,*nextsibling;
} CSNode,*CSTree;二叉樹的遍歷
所謂遍歷(Traversal)是指沿着某條搜索路線，依次對樹中每個結點均做一次且僅做一次訪問。訪問結點所做的操作依賴於具體的應用問題。
遍歷是二叉樹上最重要的運算之一，是二叉樹上進行其它運算之基礎。
從二叉樹的遞歸定義可知，一棵非空的二叉樹由根結點及左、右子樹這三個基本部分組成。因此，在任一給定結點上，可以按某種次序執行三個操作：
（1）訪問結點本身(N)，
（2）遍歷該結點的左子樹(L)，
（3）遍歷該結點的右子樹(R)。
在訪問時要求必須先訪問左子樹再訪問右子樹，按照對根節點的訪問順序，二叉樹的遍歷分爲三種：先序中序和後序遍歷。
我們還是以剛纔的二叉樹作爲例子，那麼
- 先序遍歷的結果應該爲：RACDBEF
- 中序遍歷的結果應該爲：CADREBF
- 後序遍歷的結果應該爲：CDAEFBR
用二叉鏈表做爲存儲結構，中序遍歷算法可描述爲：
void InOrder(BinTree T)
{
if(T) { // 如果二叉樹非空
InOrder(T->lchild)；
printf("％c"，T->data)； // 訪問結點
InOrder(T->rchild);
}
} // InOrder代碼實現
#! /usr/bin/env python
# -*-coding:utf-8 -*-
# Fuction: Create a binary search tree and tranversal in different way
# Coder: Memory
# Date: 2015-04-18
class treeNode():
def __init__(self, data, left, right):
self.data = data
self.left = left
self.right = right
class BTree:
def __init__(self):
self.root = None
def is_empty(self):
if self.root is None:
return True
else:
return False
def insert(self, data):
r = self.root
if r is None:
self.root = treeNode(data, None, None)
return
while True:
# 比根結點小放在左邊
if r.data > data:
if r.left is None:
r.left = treeNode(data, None, None)
break
else:
r = r.left
else:
# 比根結點大放在右邊
if r.right is None:
r.right = treeNode(data, None, None)
break
else:
r = r.right
def traversal(self, root):
if root is None:
return
else:
# 先序遍歷
print root.data
self.traversal(root.left)
# 中序遍歷去掉下一行的註釋
# print root.data
self.traversal(root.right)
# 後序遍歷同上
# print root.data
if __name__ == '__main__':
bt = BTree()
bt.insert(10)
bt.insert(3)
bt.insert(12)
bt.insert(6)
bt.insert(24)
bt.insert(30)
bt.insert(1)
bt.insert(5)
# 若用戶輸入的是數組，就一個個一個地輸入就好了。
bt.traversal(bt.root)
二叉樹的應用和衍生有很多，比如：哈夫曼樹（最優二叉樹），二叉搜索樹等等。將在後續的博文中一一介紹。