一個木桶中裝着M個白色的小球；小明每分鐘從桶中隨機的取出一個球，將其塗上紅色並將球放回桶中；請問小明將所有球均塗上紅色的期望時間是幾分鐘。（注：取出的球無論是什麼顏色，小明都會再次給它塗上紅色）
剛開始看這個題目，不知從何處入手。如果直接按照期望的定義去計算的話，會很複雜很複雜，最後想到了一步一步來的計算方法。
定義M個隨機變量：
X1:從袋子裏沒有紅球，到袋子裏有一個紅球所需要的時間
X2:從袋子裏有1個紅球，到袋子裏有2個紅球所需要的時間
...
XM:從袋子裏有M-1個紅球，到袋子裏有M個紅球所需要的時間
可以很容易看到，以上每個隨機變量都服從幾何分佈，其參數p分別爲1,(M-1)/M,(M-2)/M,...,1/M.
記我們所需要求的，從袋子裏沒有紅球，到全部是紅球，所需要的時間，爲X，於是顯然有：
X=X1+X2+X3+X4+...+XM
根據期望的性質，有
E(X)=E(X1+X2+...+XM)=E(X1)+E(X2)+...+E(XM)
參數爲p的幾何分佈的期望是1/p，因此有：
E(X)=1+M/(M-1)+M/(M-2)+...+M/1
這個就是最後結果了。期望的加法性質是很有用處的，有些時候用好了這個性質，就可以大大簡化計算過程。