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上一講我們學習了表示音符相對音高的十二平均律系統和表示絕對音高的五線譜系統，這一講將對我們已經學到的這些知識做進一步展開，並對和聲理論做簡單的介紹。和上一講一樣，我們先從歷史開始講起。
一、樂理發展史 · 之二
人們很早就發現長度比爲1:2的兩根弦同時撥響可以發出非常協調的聲音，但僅僅使用2倍關係的弦長所構造出來的音過於單調了，可以說根本不足以形成音樂，因此人們就嘗試用其它的弦長比來發聲。一根固定在平面上的弦如果從中間任意位置按在平面上，就形成了左右兩段成不同長度比且可以分開振動的弦，人們就是用這種方法嘗試不同的弦長比的。
圖1 弦長的分割（左手按下，右手撥動）
我們把原弦長所發出的頻率記爲f。用手指按在弦的正中間，即1/2處，形成的兩段弦長是相等的，它們發出的聲音頻率都爲2f，這樣純八度音程就形成了。接下來人們嘗試在純八度音程的中間找到其它的音，首先按在弦長的1/3處，在較長的那一段人們聽到了一個新的音，它的頻率是3f/2，聽起來與f非常協調。信心滿滿的人們接下來又嘗試按在弦長的1/4處，但較長那一段的音聽起來雖沒有前一個音程那麼協調，但也挺不錯，它的頻率是4f/3。用同樣的方法人們又得到5f/4、6f/5、7f/6……然而，人們很快就遇到了麻煩：首先，新得到的音的頻率與f的疊加變得越來越不協調（其原因將在下文“和聲”部分詳細說明）；其次，新產生的音與前一個產生的音之間也不存在任何協調關係，這樣下去是不可能產生悅耳動聽的音樂的。人們只能另闢蹊徑。
圖2 三種最簡單的分割
不過這時人們已經獲得了3種最簡單也最重要的弦長比，分別是1:2、2:3和3:4，它們來自於3個不同的分割點。爲了獲得新的頻率，又要與f或之前已產生的頻率保持協調，那麼能否以這3種分割點爲基礎，從較長的那一段再以同樣的比例繼續細分呢？當然是可行的，因爲協調性可以傳遞！1/2即是原弦長的一半，再將其細分爲1/2就得到原弦長的1/4，協調性沒問題，但這仍然是純八度音程，沒有出現新的音程。而從2/3處再細分情況就大不相同了，2/3再細分2/3，就得到了與原弦長比爲4:9的長度。9f/4是一個全新的頻率，顯然它與3f/2的協調程度和3f/2與f的協調程度是相同的。再從4/9中分割出2/3，得到頻率27f/8……一直用\((2/3)^n\)切分下去就得到了如下的頻率序列：
| n |
頻率 |
倍率 |
| 1 | 3f/2 | 1.5 |
| 2 | 9f/4 | 2.25 |
| 3 | 27/8 | 3.375 |
| 4 | 81f/16 | 5.0625 |
| 5 | 243f/32 | 7.59375 |
上表中的“倍率”是指其頻率除以f的值。然而這樣找音存在一個問題，那就是後面產生的音已經超過以f開始的一個純八度音程了。我們把這5個音和4f/3一併標記在數軸上，如圖3所示。
圖3 7個音所隸屬的八度音程
看以看出，這6個音（黑x表示）分別隸屬於3個不同的純八度音程（紅x表示）。4f/3和3f/2隸屬於[f, 2f]，9f/4和27f/8隸屬於[2f, 4f]，81f/16和243f/32隸屬於[4f, 8f]。既然我們要確定的只是一個純八度音程中的相對位置，那最簡單的辦法就將這6個音的頻率都除以所在純八度的最低頻率。這樣得到的新的6個倍率，從小到大排列<1.125 1.265625 1.333 1.5 1.6875 1.8984375>。f自身的倍率爲1，2f爲2，把這8個倍率一起畫在二維座標系中，見圖4所示。
圖4 7音階折線（藍色）與理想指數曲線（橙色）對比
挺奇妙的不是嗎？與理想的指數曲線相比誤差並不大。這不僅意味着音和音之間存在協調關係，而且按這樣的倍率關係，從任意置開始的連續7個音都能形成一條聽起來相當不錯的音階。這就是7音階的來歷。這種方法由f產生的第1個音是3f/2，除4f/3之外的其它因都是由3f/2產生，而f到3f/2是純五度關係，因此這個方法被人們稱爲“五度相生律”，世界歷史上多個民族都獨立發明出五度相生律，但一般認爲最早是由古希臘哲學家畢達哥拉斯提出的。
然而，隨着音樂水平的不斷髮展，這7個音慢慢變得不夠用了，而且相鄰兩個音之間的頻率比並不統一，跟不上樂器音準的提高速度。因此後來人們又發明出了十二平均律系統，直到現在7音與12音並存的局面。篇幅關係，12音階的來歷我們放在下一次歷史課上講解。下面的內容我們會學到關於五線譜的新知識，並以此爲基礎瞭解到爲什麼有的音程聽起來協調，而有的不協調，這些都是和聲理論要研究的內容。
二、五線譜進階
1. 五線譜中的相對音程
上一講我們已經知道了高音五線譜中，第二間的A的音高定爲440Hz，那麼我們如何來確定其它音的音高呢？下面將會按照十二平均律的法則在五線譜中建立相對音高系統，請看圖5。
圖5 放大的沒有任何升降標記的高音譜
上圖是一個放大的最簡單的高音譜，可以看到第一線上的音名是E，第一間的音名是F，其它以此類推。右側的“全”和“半”表示相鄰兩個音符之間的音程是全音還是半音。至於爲什麼是這樣規定的，我們會在下一講《調式與調性理論》中進一步展開。確定了音符之間的相對音程，並確定了一個基準音高A，我們就可以開始推算所有其它單音的頻率了。
首先爲了方便的表示衆多音符，下文將使用科學記音法（見維基百科）來表示所有的音符，即兩個字符表示一個音：XN。其中X爲音名，可以是{C, D, E, F, G, A, B}中的任意一個；N爲該音的序號，從0開始由低到高編號。N每增加1，音的頻率就翻倍，並規定第C4位於高音五線譜的下加一線。根據科學音調記號法，高音譜下加一線上的C記作C4，往高依次是D4，E4，F4……往低依次是B3，A3，G3……。所有的C音在五線譜上標記如圖6所示。
圖6 五線譜上所有C音的音符
比A4低純八度的音符是A3，其頻率爲A4頻率的一半，即220Hz，比A4高純八度的音符是A5，頻率爲A4頻率的二倍，即880。A0到A7間所有A音的頻率見下表：
| 基準音名 | A0 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 |
| 頻率(Hz) | 27.5 | 55 | 110 | 220 | 440 | 880 | 1760 | 3520 |
要計算其它音符XN的頻率\(f_X\)，則應以XN下方的第一個A音AN'的頻率\(f_A\)作爲基準，然後算出XN與AN'之間的音數t，那麼XN的頻率爲：\(f_X=f_A\times 2^\frac{2t}{12}=f_A\times 2^\frac{t}{6}\)。例如，由於第三間的C音（即C5）與其下方第一個A音，即A4之間的音程是小三度，音數t=1.5，因此C5的頻率爲：\(440\times 2^\frac{1.5}{6}\approx 523.25113\text{Hz}\)。當然，也可通過純八度音程的倍率關係計算，比如C4的頻率爲C5的1/2，約爲261.62557Hz。
2. 升降記號
五線譜中，音符的後面可以添加升降標記，表示該音符升高半音或降低半音。升號爲#，降號爲b。顯然，有兩個音是沒必要升的：E升半音就是F，B升半音就是C，而這就是鋼琴鍵盤佈局形成的原因。如下圖所示：
圖7 鋼琴鍵盤中部分鍵位的音名（下面是白鍵音名，上面是黑鍵音名）
鋼琴上的黑鍵比左邊的白鍵高半音（也可以說是比右邊的白鍵低半音），因此白鍵B和E的右邊就沒有黑鍵。此外，所有的降音都可以由另一些音的升音代替，比如Bb就是A#，Gb就是F#。那既然如此，爲什麼不用升號代替全部的降號呢？原因就是爲了可讀性，正如寫代碼時不能爲了減少代碼量就把所有的if語句都換成三目運算符。
如果一段譜子中的某個音符幾乎都要升半音或降半音處理，那就可以在高音譜號的右側，這個音符所在的一條線或一個間上標記升降號。
圖8 肖邦《練習曲 Op.25》第3首選段（略有刪改簡化）
在圖8所示樂譜中，第三線上標記了一個降號b，表示這個譜子裏的所有B音都需降半音，除非另外在個別音符上標記升降或還原記號。音符被升降半音後的頻率可根據之前學過的相鄰音符之間的頻率倍數關係計算。升高半音後的頻率爲原頻率的\(\sqrt[12]{2}\)倍，降低半音後的頻率爲原頻率的\(1/\sqrt[12]{2}\)倍。比如C5升高半音的頻率即爲\(523.25113\times \sqrt[12]{2}\approx 554.3653\text{Hz}\)。
3. 雙音譜
圖9 肖邦《C大調練習曲》選段
圖9是一個鋼琴譜，這下我們終於見到了高音譜號和低音譜號並存的樣子了。標有高音譜號的上面一排是高音譜，標有低音譜號的下面一排是低音譜，它們分別對應鋼琴健盤上不同的鍵區。低音譜的“線”和“間”所對應的音符與高音譜不同，如圖10所示：
圖10 低音譜各音符及其音名
其實低音譜中的音名也沒有那麼難記，實際上它和高音譜是相互連接的，中間剛好只隔了一條加線。高音譜的下加一線就是低音譜的上加一線，而這條線上的音就是中央C，即C4。和高音譜號類似，低音譜號的圓心標記的是F3在譜中的位置，即第四線上。
低音譜中各音的頻率計算與高音譜是相同的，只要搞清音程關係，從基準音推算即可。比如在前面的鋼琴譜中可以看到低音譜的最左端有兩個C（它們是用圓圈表示的），一個是第二間的C3；另一個是下加二線上的C2。C3和C2的頻率分別爲C4頻率的1/4和1/8，而C4的頻率在前面已經計算過了。
利用上面的知識，你已經可以計算任何一個五線譜中每個音的頻率了，八度音程中各音之間的音程可參見第五講後面給出的音程表。那麼接下來我們介紹對一些特別的頻率進行合成的問題——和聲。
三、和聲
和聲，是指由超過一個單音所組合而成的聲音。你可能會發現，和聲的定義與拍音的定義是非常相似的。的確如此，所有的拍音都是和聲，但和聲不一定會產生拍音。首先，人耳可以聽到的聲波頻率範圍大約爲20Hz到20000Hz，如果和聲產生的頻率超過這個範圍，通常就不能稱之爲拍音了。其次，不同的樂器發出的單音進行疊加也可以稱爲和聲，這也不是拍音。最後，拍音要求所有單音同時發出，而和聲則無此要求，只要一個音在另一個音結束之前發出，它們交疊的部分就形成了和聲。
肖邦《C大調練習曲》的前兩個小節，下載收聽。這是由一架鋼琴演奏的曲目，前兩個小節的樂譜在本講第一節中給出。一開始的那個低沉的重音就是C3和C2的和聲。朋友們可以在在線鋼琴上試着彈一下C3和C2這兩個單音的和聲（對應鍵盤上左起第1個鍵和第8個鍵）。樂譜中這個和聲從一開始延續到了第二個小節結束，在這期間，鋼琴還奏出了一共31個音符，這每一個音符與持續的低音和聲又形成了更復雜的和聲。下面請收看《C大調練習曲》的完整版，請朋友們注意鋼琴家的左手總是保持按下的狀態，都是在利用聲音的延續製造和聲。
瓦倫蒂娜‧烏拉索娃演奏，肖邦《C大調練習曲》
在西方古典音樂理論中，和聲主要研究兩個單音構成的和聲，三個或以上單音構成的和聲一般稱爲和絃，我們放在下一節討論。在一個純八度範圍內，兩個單音的和聲一共有12種，即與12種音程相對應。在鋼琴鍵盤上以中央C鍵，即C4爲準，請試聽一下C4分別與D4、E4、F4、G4、A4、B4以及C5鍵同時按下的和聲效果。聽過以後有沒有發現某些和聲比較悅耳，而某些則比較難聽？比如C4和C5同時按下（純八度音程）的和聲就毫無違和感，就像只有一個音；而C4和D4同時按下（小二度音程）就非常刺耳難聽。這究竟是爲什麼呢？
圖11 鋼琴鍵盤與五線譜對照圖
就是因爲拍音！上一講我們學到，相鄰兩個音之間的頻率比爲\(\sqrt[12]{2}\approx 1.059463\)，我們將這個數記爲p，那麼各音程的頻率比（即相距某個音程的低音比高音）可由其音數t按公式：\(1/(2t)^p\)算得。由於除純八度外的所有音程的頻率比均爲無理數，因此他們的拍音的頻率只能按他們頻率的近似整數比來計算，詳見第一講第三節。計算近似整數比的數學過程是比較複雜的，這裏篇幅有限，不做進一步的討論。接下來我們分別換算一下12個音程的頻率比。
| 音程 | 近似頻率比 | 近似整數比 | 最小公倍數 |
| 小二度 | 1:1.06 | 15:16 | 240 |
| 大二度 | 1:1.12 | 8:9 | 72 |
| 小三度 | 1:1.19 | 5:6 | 30 |
| 大三度 | 1:1.26 | 4:5 | 20 |
| 純四度 | 1:1.34 | 3:4 | 12 |
| 三全音 | 1:1.41 | 7:10 | 70 |
| 純五度 | 1:1.50 | 2:3 | 6 |
| 小六度 | 1:1.59 | 5:8 | 40 |
| 大六度 | 1:1.68 | 3:5 | 15 |
| 小七度 | 1:1.78 | 5:9 | 45 |
| 大七度 | 1:1.89 | 8:15 | 120 |
| 純八度 | 1:2 | 1:2 | 2 |
按近似整數比的最小公倍數排序，可以得到如下和聲序列：<純八度，純五度，純四度，大六度，大三度，小三度，小六度，小七度，三全音，大二度，大七度，小二度>
通過在鋼琴上彈奏對比可知，越向左邊的和聲越“協和”，但也越空洞，就是好像只有一個音，不夠飽滿；越向右邊的和聲越“難聽”，但也越飽滿。人們根據這一特徵，將和聲的協和程度分爲“極完全協和”、“完全協和”、“不完全協和”、“不協和”與“極不協和”五類，如下圖所示：
圖12 各音程的協和程度
我們做一個實驗來驗證。比如C4和G4之間是完全協和的純五度，他們的弦長比是3:2，最小公倍數是6，那麼他們的拍音頻率就是弦長爲C4弦長2倍的弦所發出的聲音的頻率，顯然就是C3的音。我們可以在在線鋼琴上同時按下i（C4）和x（G4）鍵，然後試着同時按下i、x和q（C3）鍵聽一聽效果。可以感覺到C4和G4把C3增強了。同理，A6和B6這兩個小二度音程的弦長比是16:15，最小公倍數240，拍音頻率對應的音爲B2，然而B2與A6和B6相隔太遠了，我們無法聽出拍音增強的效果。
和聲理論已經發展爲一門學科，稱爲和聲學，內容是相當複雜的，這裏只做簡單的科普性介紹，感興趣的同學可以閱讀《和聲學》。
四、總結
這一講的內容是所有樂理中最複雜，也最困難的。但只要過了這一關，後面的內容就會輕鬆很多了。今天就到這裏，最後給大家放一點福利，教你如何在2分鐘內學會彈鋼琴。玩笑歸玩笑，也請各位結合本講的內容，思考這裏面的原理。