平面內兩條線段的位置關係(相交)判定與交點求解

概念

平面內兩條線段位置關係的判定在很多領域都有着廣泛的應用，比如遊戲、CAD、圖形處理等，而兩線段交點的求解又是該算法中重要的一環。本文將盡可能用通俗的語言詳細的描述一種主流且性能較高的判定算法。

外積，又稱叉積，是向量代數（解析幾何）中的一個概念。兩個二維向量v₁(x₁, y₁)和v₂(x₂, y₂)的外積v₁×v₂=x₁y₂-y₁x₂。如果由v₁到v₂是順時針轉動，外積爲負，反之爲正，爲0表示二者方向相同（平行）。此外，文中涉及行例式和方程組的概念，請參閱線性代數的相關內容。

爲方便計算，對座標點的大小比較作如下定義：x座標較大的點爲大，x座標相等但y座標較大的爲大，x與y都相等的點相等。一條線段中較小的一端爲起點，較大的一端爲終點。

 

問題

給定兩條線段的端點座標，求其位置關係，並求出交點（如果存在）。

 

分析

兩條線段的位置關係大體上可以分爲三類：有重合部分、無重合部分但有交點（相交）、無交點。爲避免精度問題，首先要將所有存在重合的情況排除。

重合可分爲：完全重合、一端重合、部分重合三種情況。顯然，兩條線段的起止點都相同即爲完全重合；只有起點相同或只有終點相同的爲一端重合（注意：座標較小的一條線段的終點與座標較大的一條線段的起點相同時應判定爲相交）。要判斷是否部分重合，必須先判斷是否平行。設線段L₁(p₁->p₂)和L₂(p₃->p₄)，其中p1(x₁, y₁)爲第一條線段的起點，p₂(x₂, y₂)爲第一條線段的終點，p₃(x₃, y₃)爲第二條線段的起點，p₄(x₄, y₄)爲第二段線段的終點，由此可構造兩個向量：

• v₁(x₂-x₁, y₂-y₁)，v₂(x₄-x₃, y₄-y₃)

若v₁與v₂的外積v₁×v₂爲0，則兩條線段平行，有可能存在部分重合。再判斷兩條平行線段是否共線，方法是用L1的一端和L2的一端構成向量v_s並與v₂作外積，如果v_s與v₂也平行則兩線段共線（三點共線）。在共線的前提下，若起點較小的線段終點大於起點較大的線段起點，則判定爲部分重合。

沒有重合，就要判定兩條線是否相交，主要的算法還是依靠外積。然而外積的計算開銷比較大，如果不相交的情況比較多，可先做快速排斥實驗：將兩條線段視爲兩個矩形的對角線，並構造出這兩個矩形。如果這兩個矩形沒有重疊部分（x座標相離或y座標相離）即可判定爲不相交。

然後執行跨立試驗。兩條相交的線段必然相互跨立，簡單的講就是p₁和p₂兩點位於L₂的兩側且p₃和p₄兩點位於L₁的兩側，這樣就可利用外積做出判斷了。分別構造向量s₁(p₃, p₁), s₂(p₃, p₂)，如果s₁×v₂與s₂×v₂異號(s₁->v₂與s₂->v₂轉動的方向相反），則說明p₁和p₂位於L₂的兩側。同理可判定p₃和p₄是否跨立L₁。如果上述四個叉積中任何一個等於0，則說明一條線段的端點在另一條線上。

當判定兩條線段相交後，就可以進行交點的求解了。當然，求交點可以用平面幾何方法，列點斜式方程來完成。但這樣作會難以處理斜率爲0的特殊情況，且運算中會出現多次除法，很難保證精度。這裏將使用向量法求解。

設交點爲(x₀, y₀)，則下列方程組必然成立：

1. x₀-x₁=k₁(x₂-x₁)
2. y₀-y₁=k₁(y₂-y₁)
3. x₀-x₃=k₂(x₄-x₃)
4. y₀-y₃=k₂(y₄-y₃)

其中k₁和k₂爲任意不爲0的常數（若爲0，則說明有重合的端點，這種情況在上面已經被排除了）。1式與2式聯繫，3式與4式聯立，消去k₁和k₂可得：

1. x₀(y₂-y₁)-x₁(y₂-y₁)=y₀(x₂-x₁)-y₁(x₂-x₁)
2. x₀(y₄-y₃)-x₃(y₄-y₃)=y₀(x₄-x₃)-y₃(x₄-x₃)

將含有未知數x₀和y₀的項移到左邊，常數項移動到右邊，得：

1. (y₂-y₁)x₀+(x₁-x₂)y₀=(y₂-y₁)x₁+(x₁-x₂)y₁
2. (y₄-y₃)x₀+(x₃-x₄)y₀=(y₄-y₃)x₃+(x₃-x₄)y₃

設兩個常數項分別爲b₁和b₂：

• b₁=(y₂-y₁)x₁+(x₁-x₂)y₁
• b₂₌(y₄-y₃)x₃+(x₃-x₄)y₃

係數行列式爲D，用b₁和b₂替換x₀的係數所得係數行列式爲D₁，替換y₀的係數所得係數行列式爲D₂，則有：

• |D|=(x₂-x₁)(y₄-y₃)-(x₄-x₃)(y₂-y₁)
• |D₁|=b₂(x₂-x₁)-b₁(x₄-x₃)
• |D₂|=b₂(y₂-y₁)-b₁(y₄-y₃)

由此，可求得交點座標爲：

• x₀=|D₁|/|D|, y₀=|D₂|/|D|

解畢。

 

C++/STL實現

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
struct POINTF {float x; float y;};
bool Equal(float f1, float f2) {
	return (abs(f1 - f2) < 1e-4f);
}
//判斷兩點是否相等
bool operator==(const POINTF &p1, const POINTF &p2) {
	return (Equal(p1.x, p2.x) && Equal(p1.y, p2.y));
}
//比較兩點座標大小，先比較x座標，若相同則比較y座標
bool operator>(const POINTF &p1, const POINTF &p2) {
	return (p1.x > p2.x || (Equal(p1.x, p2.x) && p1.y > p2.y));
}
//計算兩向量外積
float operator^(const POINTF &p1, const POINTF &p2) {
	return (p1.x * p2.y - p1.y * p2.x);
}
//判定兩線段位置關係，並求出交點(如果存在)。返回值列舉如下：
//[有重合] 完全重合(6)，1個端點重合且共線(5)，部分重合(4)
//[無重合] 兩端點相交(3)，交於線上(2)，正交(1)，無交(0)，參數錯誤(-1)
int Intersection(POINTF p1, POINTF p2, POINTF p3, POINTF p4, POINTF &Int) {
	//保證參數p1!=p2，p3!=p4
	if (p1 == p2 || p3 == p4) {
		return -1; //返回-1代表至少有一條線段首尾重合，不能構成線段
	}
	//爲方便運算，保證各線段的起點在前，終點在後。
	if (p1 > p2) {
		swap(p1, p2);
	}
	if (p3 > p4) {
		swap(p3, p4);
	}
	//判定兩線段是否完全重合
	if (p1 == p3 && p2 == p4) {
		return 6;
	}
	//求出兩線段構成的向量
	POINTF v1 = {p2.x - p1.x, p2.y - p1.y}, v2 = {p4.x - p3.x, p4.y - p3.y};
	//求兩向量外積，平行時外積爲0
	float Corss = v1 ^ v2;
	//如果起點重合
	if (p1 == p3) {
		Int = p1;
		//起點重合且共線(平行)返回5；不平行則交於端點，返回3
		return (Equal(Corss, 0) ? 5 : 3);
	}
	//如果終點重合
	if (p2 == p4) {
		Int = p2;
		//終點重合且共線(平行)返回5；不平行則交於端點，返回3
		return (Equal(Corss, 0) ? 5 : 3);
	}
	//如果兩線端首尾相連
	if (p1 == p4) {
		Int = p1;
		return 3;
	}
	if (p2 == p3) {
		Int = p2;
		return 3;
	}//經過以上判斷，首尾點相重的情況都被排除了
	//將線段按起點座標排序。若線段1的起點較大，則將兩線段交換
	if (p1 > p3) {
		swap(p1, p3);
		swap(p2, p4);
		//更新原先計算的向量及其外積
		swap(v1, v2);
		Corss = v1 ^ v2;
	}
	//處理兩線段平行的情況
	if (Equal(Corss, 0)) {
		//做向量v1(p1, p2)和vs(p1,p3)的外積，判定是否共線
		POINTF vs = {p3.x - p1.x, p3.y - p1.y};
		//外積爲0則兩平行線段共線，下面判定是否有重合部分
		if (Equal(v1 ^ vs, 0)) {
			//前一條線的終點大於後一條線的起點，則判定存在重合
			if (p2 > p3) {
				Int = p3;
				return 4; //返回值4代表線段部分重合
			}
		}//若三點不共線，則這兩條平行線段必不共線。
		//不共線或共線但無重合的平行線均無交點
		return 0;
	} //以下爲不平行的情況，先進行快速排斥試驗
	//x座標已有序，可直接比較。y座標要先求兩線段的最大和最小值
	float ymax1 = p1.y, ymin1 = p2.y, ymax2 = p3.y, ymin2 = p4.y;
	if (ymax1 < ymin1) {
		swap(ymax1, ymin1);
	}
	if (ymax2 < ymin2) {
		swap(ymax2, ymin2);
	}
	//如果以兩線段爲對角線的矩形不相交，則無交點
	if (p1.x > p4.x || p2.x < p3.x || ymax1 < ymin2 || ymin1 > ymax2) {
		return 0;
	}//下面進行跨立試驗
	POINTF vs1 = {p1.x - p3.x, p1.y - p3.y}, vs2 = {p2.x - p3.x, p2.y - p3.y};
	POINTF vt1 = {p3.x - p1.x, p3.y - p1.y}, vt2 = {p4.x - p1.x, p4.y - p1.y};
	float s1v2, s2v2, t1v1, t2v1;
	//根據外積結果判定否交於線上
	if (Equal(s1v2 = vs1 ^ v2, 0) && p4 > p1 && p1 > p3) {
		Int = p1;
		return 2;
	}
	if (Equal(s2v2 = vs2 ^ v2, 0) && p4 > p2 && p2 > p3) {
		Int = p2;
		return 2;
	}
	if (Equal(t1v1 = vt1 ^ v1, 0) && p2 > p3 && p3 > p1) {
		Int = p3;
		return 2;
	}
	if (Equal(t2v1 = vt2 ^ v1, 0) && p2 > p4 && p4 > p1) {
		Int = p4;
		return 2;
	} //未交於線上，則判定是否相交
	if(s1v2 * s2v2 > 0 || t1v1 * t2v1 > 0) {
		return 0;
	} //以下爲相交的情況，算法詳見文檔
	//計算二階行列式的兩個常數項
	float ConA = p1.x * v1.y - p1.y * v1.x;
	float ConB = p3.x * v2.y - p3.y * v2.x;
	//計算行列式D1和D2的值，除以係數行列式的值，得到交點座標
	Int.x = (ConB * v1.x - ConA * v2.x) / Corss;
	Int.y = (ConB * v1.y - ConA * v2.y) / Corss;
	//正交返回1
	return 1;
}
//主函數
int main(void) {
	//隨機生成100個測試數據
	for (int i = 0; i < 100; ++i) {
		POINTF p1, p2, p3, p4, Int;
		p1.x = (float)(rand() % 10); p1.y = (float)(rand() % 10);
		p2.x = (float)(rand() % 10); p2.y = (float)(rand() % 10);
		p3.x = (float)(rand() % 10); p3.y = (float)(rand() % 10);
		p4.x = (float)(rand() % 10); p4.y = (float)(rand() % 10);
		int nr = Intersection(p1, p2, p3, p4, Int);
		cout << "[(";
		cout << (int)p1.x << ',' << (int)p1.y << "),(";
		cout << (int)p2.x << ',' << (int)p2.y << ")]--[(";
		cout << (int)p3.x << ',' << (int)p3.y << "),(";
		cout << (int)p4.x << ',' << (int)p4.y << ")]: ";
		cout << nr;
		if (nr > 0) {
			cout << '(' << Int.x << ',' << Int.y << ')';
		}
		cout << endl;
	}
	return 0;
}