蓄水池抽樣

蓄水池抽樣 

今天又在“待字閨中”上看到將蓄水池抽樣的題，想起一年多之前小光找工作的時候考過我這個。這裏做個備忘。

轉自：https://www.guokr.com/blog/745588/

題目要求：

從個元素中隨機抽取個元素，但的個數無法事先確定。
在實際應用中，往往會遇到很大數據流的情況。因此，我們無法先保存整個數據流然後再從中選取，而是期望有一種將數據流遍歷一遍就得到所選取的元素，並且保證得到的元素是隨機的算法。

蓄水池抽樣算法：

1. 先選取n個元素中的前k個元素，保存在集合A中；
2. 從第 j (k+1 <= j <= n) 個元素開始，每次先以概率選擇是否讓第 j 個元素留下。若第 j 個元素存活，則從A中隨機選擇一個元素並用該元素 j 替換它；否則直接淘汰該元素 j ；
3. 重複1和2，直到結束。最後集合 A 中剩下的就是保證隨機抽取的 k 個元素。

蓄水池抽樣算法正確性證明：
爲了證明該算法的正確性，我們要保證算法結束後，原n個元素每一個最後存活下來的概率都是 k/n（因爲從 n 個元素中隨機抽取k個元素，每個元素被抽中的概率都是k/n）。形式化地，我們要證明的結論是：在算法的第  i(0<= i <= n-k) 輪，前 k+i個元素每一個存活下來的概率都是 k/(k+i)。
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利用數學歸納法：

1. 當 i=0 時，結論顯然成立。
2. 當 0< i <= n-k 時，根據算法，元素 k+i 存活的概率爲 k/(k+i)。而對於元素  l (1<= l < k+i)，有兩種情況會使其存活下來：要麼元素 k+i 直接被淘汰；要麼元素k+i 留下，但是沒有替換掉元素 l 。由歸納假設， i-1 時結論成立，故元素 l 存活的概率爲，得證。

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值得一提的是，在實際中，常常需要通過一次遍歷，從大量的個元素中隨機選取一個。這其實是蓄水池抽樣在時的特例。