蓄水池抽样

蓄水池抽样 

今天又在“待字闺中”上看到将蓄水池抽样的题，想起一年多之前小光找工作的时候考过我这个。这里做个备忘。

转自：https://www.guokr.com/blog/745588/

题目要求：

从个元素中随机抽取个元素，但的个数无法事先确定。
在实际应用中，往往会遇到很大数据流的情况。因此，我们无法先保存整个数据流然后再从中选取，而是期望有一种将数据流遍历一遍就得到所选取的元素，并且保证得到的元素是随机的算法。

蓄水池抽样算法：

1. 先选取n个元素中的前k个元素，保存在集合A中；
2. 从第 j (k+1 <= j <= n) 个元素开始，每次先以概率选择是否让第 j 个元素留下。若第 j 个元素存活，则从A中随机选择一个元素并用该元素 j 替换它；否则直接淘汰该元素 j ；
3. 重复1和2，直到结束。最后集合 A 中剩下的就是保证随机抽取的 k 个元素。

蓄水池抽样算法正确性证明：
为了证明该算法的正确性，我们要保证算法结束后，原n个元素每一个最后存活下来的概率都是 k/n（因为从 n 个元素中随机抽取k个元素，每个元素被抽中的概率都是k/n）。形式化地，我们要证明的结论是：在算法的第  i(0<= i <= n-k) 轮，前 k+i个元素每一个存活下来的概率都是 k/(k+i)。
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利用数学归纳法：

1. 当 i=0 时，结论显然成立。
2. 当 0< i <= n-k 时，根据算法，元素 k+i 存活的概率为 k/(k+i)。而对于元素  l (1<= l < k+i)，有两种情况会使其存活下来：要么元素 k+i 直接被淘汰；要么元素k+i 留下，但是没有替换掉元素 l 。由归纳假设， i-1 时结论成立，故元素 l 存活的概率为，得证。

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值得一提的是，在实际中，常常需要通过一次遍历，从大量的个元素中随机选取一个。这其实是蓄水池抽样在时的特例。