- 題目描述
首先分析下n的階乘的規律：
- 題目分析
| 階乘 | 結果 |
| 1！ | 1 |
| 2！=1*2 | 2 |
| 3！=1*2*3 | 6 |
| 4！=1*2*3*4 | 24 |
| 5！=1*2*3*4*5 | 120 (1個0) |
| 6！=1*2*3*4*5*6 | 720 (1個0) |
| 7！=1*2*3*4*5*6*7 | 5040 (1個0) |
| 8！=1*2*3*4*5*6**7*8 | 40320 (1個0) |
| 9！=1*2*3*4*5*6*7*8*9 | 362880 (1個0) |
| 10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 | 3628800 (2個0) |
| 11!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11 | 39916800 (2個0) |
| .............. | ............ (2個0) |
| 15! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15 | 1307674368000 (3個0) |
| ............ | ............ |
| 20!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20 | (4個0) |
| 以此類推 | 依此類推 |
故可發現規律：
（1）對於 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、............(&&&&)
可知上述數列，每個隔5個數的階乘後的結果，尾部零的個數會增加一個，即在
5.....10......15......20......25.......30....35......40.......45.......50......55......60......65......70......75.....80.......85.......90......100.........(*****)
這些數字均滿足 5*k 的數字。則在階乘數n之前，利用公式：數量 n1 = n/5，則可知在階乘數n之前，有n1個上述類型的數字。
例如： n = 56
則在56之前應該是5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，
共56/5=11個數滿足上述數字特徵要求。
（2）將(****)處的特徵數字可以再進行規律尋找，可以化成
即爲： 5*（1、2、3、4、5、6、7、8、................）
此處可以提一個5出來，說明對應的每個階乘尾部至少都可達到有一個0；
括號中的數字1、2、3、4、5、6、7、8、..............又滿足（1）中的分析過程，對於(&&&&)中的原始數據，可以再次提出5的數字有：
........、25、.......、50、........、75、..........、100、..........、125、...........、150、..........、175、........
即爲：5*5*（1、2、3、4、5、6、7、8、....................）
此處可以提兩個5出來，說明對應的每個階乘尾部至少都可達到有兩個0；
括號中的數字1、2、3、4、5、6、7、8、..............又滿足（1）中的分析過程，對於(&&&&)中的原始數據，可以再次提出5的數字有：
......、125、........、250、.......、375、........、500、.......、625、........、750、..........
即爲：5*5*5*（1、2、3、4、5、6、7、8、................）
此處可以提三個5出來，說明對應的每個階乘尾部至少都可達到有三個0；
依次類推：
故可設計程序如下：
//迭代版本
class Solution {
public:
/*
* @param n: A long integer
* @return: An integer, denote the number of trailing zeros in n!
*/
long long trailingZeros(long long n) {
// write your code here, try to do it without arithmetic operators.
long long num = 0;
while(n)
{
num += n / 5; //將符號左邊的值與右邊值相加再賦值給左邊
n = n / 5;
}
return num;
}
};
代碼分析：
- 先定義0的個數計數變量num，賦初始值爲0，使用while循環語句，若滿足繼續，不滿足跳出，輸出計數值num。
例1：計算 4！ 中尾數0的個數 4！=24
n=4，進入while循環，執行第一條語句：4 / 5 = 0，故 num = 0 + 4 / 5 =0+0=0 ；執行第二條語句：n = 4 /5 =0
故調出循環，輸出num=0.階乘尾部沒有0.
例2：計算14！中尾數0個數 14！=87178291200
n=14，進入while循環，執行第一條語句：14 / 5 = 2，故 num = 0 + 14 / 5 =0+2=2；執行第二條語句：n = 14 /5 =2；
繼續執行while循環，執行第一條語句：2/ 5 = 0，故 num = 0 + 2/ 5 =0+0=0；執行第二條語句：n = 2/5 =0；故調出循環，輸出num=2。階乘尾部有兩個0.
- 時間複雜度分析
題目要求我們時間複雜度爲O(logN)，在算法中，每次循環均有除以5的操作，故每次循環數據量縮減爲原來的1/5，所以可以推出滿足時間複雜度。