1、所有終結點是 必敗點 P 。（我們以此爲基本前提進行推理，換句話說，我們以此爲假設）
Sprague-Grundy定理（SG定理）：
遊戲和的SG函數等於各個遊戲SG函數的Nim和。這樣就可以將每一個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim遊戲中的直接應用，因爲單堆的Nim遊戲 SG函數滿足 SG(x) = x。對博弈不是很清楚的請參照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html進行進一步理解。
SG函數：
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
對於任意狀態 x ， 定義 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 後繼狀態的SG函數值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別爲 SG(a),SG(b),SG(c)，那麼SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 這樣 集合S 的終態必然是空集，所以SG函數的終態爲 SG(x) = 0,當且僅當 x 爲必敗點P時。
【實例】Nim取石子問題
有1堆n個的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }個石子，先取完石子者勝利，那麼各個數的SG值爲多少？
SG[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1 時，可以取走1 - f{1}個石子，剩餘{0}個，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 時，可以取走2 - f{1}個石子，剩餘{1}個，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 時，可以取走3 - f{1,3}個石子，剩餘{2,0}個，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 時，可以取走4- f{1,3,4}個石子，剩餘{3,1,0}個，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 時，可以取走5 - f{1,3,4}個石子，剩餘{4,2,1}個，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
以此類推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
由上述實例我們就可以得到SG函數值求解步驟，那麼計算1~n的SG函數值步驟如下：
1、使用 數組f 將 可改變當前狀態 的方式記錄下來。
2、然後我們使用 另一個數組 將當前狀態x 的後繼狀態標記。
3、最後模擬mex運算，也就是我們在標記值中 搜索 未被標記值 的最小值，將其賦值給SG(x)。
4、我們不斷的重複 2 - 3 的步驟，就完成了 計算1~n 的函數值。