51. N-Queens
The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.
Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.
Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.
For example,
There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:
[ [".Q..", // Solution 1 "...Q", "Q...", "..Q."], ["..Q.", // Solution 2 "Q...", "...Q", ".Q.."] ]
題目大意：
給定一個n*n的棋盤，在棋盤裏放入n個Q，要求每一行，每一列都只有一個Q，而且每個Q的對角線上只能有一個Q。
思路：
這是一個典型的回溯問題。一條路走到黑，走到黑了退回來一步，然後再走，直到走通一條路。退回來繼續尋找其他出路。
解決這個問題需要解決幾個關鍵點：
1.關於保存一個可行路線的數據結構的選擇
保存一個可行路線的時候，選擇數據結構時選擇一個2維數組還是什麼這裏需要動腦筋了，最後衡量，選擇了一維數組。
比如說4-Queue時一個合法路線爲
[".Q..", // Solution 1 "...Q", "Q...", "..Q."],
那麼它對應的1位數組爲{1，3，0，2}
解釋：
1是數組第0位，對應二維數組第0行，對應的值是1，表示在第0行時，第1列可以放Q。
3是數組第1位，對應二維數組第1行，對應的值是3，表示在第1行時，第3列可以放Q。
0是數組第2位，對應二維數組第3行，對應的值是0，表示在第2行時，第0列可以放Q。
2是數組第3位，對應二維數組第3行，對應的值是2，表示在第3行時，第2列可以放Q。
數組的下標爲行，數組的元素值爲列。通過行列來確定Q的位置。
2.關於如何判斷要加入的元素是否爲合法
要插入一個合法元素到合法位置上，需要判斷是否合法，在這裏使用了函數
bool isValid(int curIndex, int val ,int n, vector<int> &a)
curIndex表示當前要插入的元素在合法數組中的下標，也就是行。val是要插入的列值。n是有多少個Queue，a是保存臨時合法路線的一個數組。
判斷a[i] == val 相等說明該列重複。
對角線的斜率爲1或-1，所以如果 |val - a[i]| / |cur - i| == 1，那麼說明在同一對角線上。
3.將合法的路徑一個一個的放入結果臨時數組中。從結果臨時數組轉換成結果數組。
代碼如下：
class Solution {
public:
//判斷當前要插入的值val在這個位置curIndex是否合法
bool isValid(int curIndex, int val ,int n, vector<int> &a)
{
if (curIndex < n )
{
for (int i = curIndex - 1; i >= 0; --i)
{
if (a[i] == val)//判斷列上是否有重複的
return false;
}
for (int i = curIndex - 1; i >= 0; --i)
{
if (abs(val - a[i]) == (curIndex - i))//判斷斜線上是否有重複的
{
return false;
}
}
return true;
}
return false;
}
void PutQueens(int val , vector<int> &a)//將合法的值放入當前臨時結果數組
{
a.push_back(val);
}
//start開始的行數，也就是第start+1個Queue的放置
void solveNQueensToIntVector(int start,int n, vector<int> &cur,
vector<vector<int>> &result)//先轉換成int來處理
{
if (cur.size() == n)
{
result.push_back(cur);
return;
}
if (start == n)
return;
//典型的回溯套路
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (!isValid(cur.size(),i, n, cur))
continue;
vector<int> temp(cur);//保存變化前的vector
PutQueens(i, cur);
solveNQueensToIntVector(start + 1, n, cur, result);
cur.swap(temp);
}
}
vector<vector<string>> solveNQueens(int n)
{
vector<int> cur;
vector<vector<int>> tempResult;
vector<vector<string>> result;
solveNQueensToIntVector(0,n,cur,tempResult);
//vector<vector<int>> tempResult 轉換成 目標結果result
for (int i = 0; i < tempResult.size(); i++)
{
vector<string> floorVector;
string floor;
for (int j = 0; j < tempResult[i].size(); j++)
{
for (int k = 0; k < tempResult[i][j]; k++)
{
floor += ".";
}
floor += "Q";
for (int k = tempResult[i][j] + 1; k < n ; k++)
{
floor += ".";
}
floorVector.push_back(floor);
floor.clear();
}
result.push_back(floorVector);
floorVector.clear();
}
return result;
}
};本題總結：
回溯問題在N-Queue這道題中體現的十分明顯。
回溯法解題思路（1）針對所給問題，定義問題的解空間；
（2）確定易於搜索的解空間結構；
（3）以深度優先方式搜索解空間，並在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索。
回溯就是讓計算機自動的去搜索，碰到符合的情況就結束或者保存起來，在一條路徑上走到盡頭也不能找出解，就回到原來的岔路口，選擇一條以前沒有走過的路繼續探測，直到找到解或者走完所有路徑爲止。就這一點，回溯和所謂的DFS（深度優先搜索）是一樣的。那現在的關鍵是，怎麼實現搜索呢？回溯既然一般使用遞歸來實現，那個這個遞歸調用該如何來寫呢？我的理解就是，先判斷這一次試探是否有效，如果有效則加入這個元素，然後進行下一次遞歸，遞歸後恢復加入這個合法元素之前的狀態，進行下一次循環；如果無效則直接進行下一次循環。
2016-08-15 15:53:37