lcs 最長公共子序列 O(nlogn)算法

最長公共子序列問題：

給定2個字符串，求其最長公共子串。如abcde和dbada的最長公共字串爲bd。

動態規劃：dp[i][j]表示A串前i個和B串前j個的最長公共子串的長度。

則

若A[i] == B[j] , dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;

否則 dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

時間複雜度O(N*M)。

dp[i][j]僅在A[i]==B[j]處才增加，對於不相等的地方對最終值是沒有影響的。

故枚舉相等點處可以對其進行優化。

則對於dp[i][j]（這裏只計算A[i]==B[j]的i和j），取最大的dp[p][q]，滿足（p<i,q<j），通過二叉搜索樹可以再logn的時間裏獲取到最大的dp[p][q]，區間在[0,j)。

這裏也可將其轉化爲最長遞增子序列問題。

舉例說明：

A：abdba

B：dbaaba

則1：先順序掃描A串，取其在B串的所有位置：

    2：a(2,3,5) b(1,4) d(0)。

    3：用每個字母的反序列替換，則最終的最長嚴格遞增子序列的長度即爲解。

替換結果：532 41 0 41 532

最大長度爲3.

簡單說明：上面的序列和最長公共子串是等價的。

對於一個滿足最長嚴格遞增子序列的序列，該序列必對應一個匹配的子串。

反序是爲了在遞增子串中，每個字母對應的序列最多隻有一個被選出。

反證法可知不存在更大的公共子串，因爲如果存在，則求得的最長遞增子序列不是最長的，矛盾。

最長遞增子序列可在O(NLogN)的時間內算出。

dp[i] = max(dp[j]+1) ( 滿足 a[i] > a[j] && i > j )

顯然對於同樣的如dp[k] = 3，假定k有多個，記爲看k1,k2,.....,km 設k1 < k2 < .... < km

在計算dp[i]的時候，k2,k3,....,km顯然對結果沒有幫助，取當前最小的k,

滿足ans[k] = p (最小的p使得dp[p]=k) ,每次二分，更新ans[dp[i]] = min(ans[dp[i]],i).

 

ps：LCS在最終的時間複雜度上不是嚴格的O(nlogn)，不知均攤上是不是。

舉個退化的例子：

如A：aaa

    B：aaaa

則序列321032103210

長度變成了n*m ,最終時間複雜度O(n*m*(lognm)) > O(n*m)。

這種情況不知有沒有很好的解決辦法。

附個參考代碼：

#include <stdio.h>
#include <ctype.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <string>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 1501 ;
vector<int> location[26] ;
int c[maxn*maxn] , d[maxn*maxn] ;

inline int get_max(int a,int b) {   return a > b ? a : b ;  }

//nlogn 求lcs
int lcs(char a[],char b[])
{
    int i , j , k , w , ans , l , r , mid ;
    for( i = 0 ; i < 26 ; i++) location[i].clear() ;
    for( i = strlen(b)-1 ; i >= 0 ; i--) location[b[i]-'a'].push_back(i) ;
    for( i = k = 0 ; a[i] ; i++)
    {
        for( j = 0 ; j < location[w=a[i]-'a'].size() ; j++,k++) c[k] = location[w][j] ;
    }
    d[1] = c[0] ;   d[0] = -1 ;
    for( i = ans = 1 ; i < k ; i++)
    {
        l = 0 ; r = ans ;
        while( l <= r )
        {
            mid = ( l + r ) >> 1 ;
            if( d[mid] >= c[i] ) r = mid - 1 ;
            else l = mid + 1 ;
        }
        if( r == ans ) ans++,d[r+1] = c[i] ;
        else if( d[r+1] > c[i] ) d[r+1] = c[i] ;
    }
    return ans ;
}

int main()
{
    char a[maxn] , b[maxn] ;
    while (~scanf("%s%s",a,b))
    {
        printf("%d\n",lcs(a,b));
    }
}