● 二叉搜索樹滿足以下條件的二叉樹：
1、每個節點都有一個作爲搜索依據的關鍵碼（key），所有節點的關鍵碼互不相同。
2、左子樹上所有節點的關鍵碼（key）都小於根節點的關鍵碼（key）。
3、右子樹上所有節點的關鍵碼（key）都大於根節點的關鍵碼（key）。
4、左右子樹都是二叉搜索樹。
● 二叉搜索樹的插入過程如下：
1、若當前的二叉搜索樹爲空，則插入的元素爲根節點。
2、若插入的元素值小於根節點值，則將元素插入到左子樹中。
3、若插入的元素值大於根節點值，則將元素插入到右子樹中。
4、找到插入的位置和插入的位置的父結點，進行鏈接。
template<class T>
void BSTree<T>::Insert(const T& key, const T& value)//非遞歸算法進行插入
{
if (_root == NULL)
{
_root = new Node(key, value);
return;
}
Node* prev = NULL;
Node* cur = _root;
while (cur)//在樹中找到插入的位置
{
if (key < cur->_key)
{
prev = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
prev = cur;
cur = cur->_right;
}
}
cur = new Node(key, value);//建立新結點，並判斷具體位置進行鏈接
if (prev->_key > cur->_key)
{
prev->_left = cur;
}
if (prev->_key < cur->_key)
{
prev->_right = cur;
}
}
template<class T>
void BSTree<T>::Insert_R(const T& key, const T& value)//遞歸算法進行插入
{
_insert_r(_root, key, value);
}
template<class T>
void BSTree<T>::_insert_r(Node*& root, const T& key, const T& value)//遞歸
{
if (root == NULL)//root爲空時，開闢新結點
{
root = new Node(key, value);
return;
}
Node* cur = root;
if (key < cur->_key)
_insert_r(cur->_left, key, value);
if (key > cur->_key)
_insert_r(cur->_right, key, value);
}● 二叉搜索樹的查找過程如下：
1、若當前的二叉搜索樹爲空，則結束函數。
2、若查找的元素值小於根節點值，則在當前結點的左子樹中查找。
3、若查找的元素值大於根節點值，則在當前結點的右子樹中查找。
template<class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::Find(const T& key)//非遞歸算法進行查找
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return cur;
}
}
return NULL;
}
template<class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::Find_R(const T& key)//遞歸
{
return _find_r(_root, key);
}
template<class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::_find_r(Node*& root, const T& key)//遞歸算法進行查找
{
if (root == NULL)//root爲空時爲沒找到
{
return NULL;
}
if (key < root->_key)
return _find_r(root->_left, key);
else if (key > root->_key)
return _find_r(root->_right, key);
else
return root;
}● 二叉搜索樹的刪除，分兩種情況進行處理：
1、找到要刪除的結點cur和cur的父親結點prev。
2、情況一：cur只有一個子樹或沒有子樹。首先考慮刪除的結點爲根結點時，直接_root指向它的子樹；
再考慮cur的左爲空、右爲空還是左右都爲空，進行刪除，鏈接。
3、情況二：cur左右子樹都不爲空。首先找到cur右子樹的最左下結點del，然後進行交換，通過替換法刪除del，並使prev的指向置空。
template<class T>
void BSTree<T>::Remove(const T& key)//非遞歸算法進行刪除
{
if (_root == NULL)
{
return;
}
Node* prev = NULL;
Node* cur = _root;
while (cur)//找到要刪除的結點cur
{
if (key < cur->_key)
{
prev = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
prev = cur;
cur = cur->_right;
}
else
break;
}
//情況一：cur只有一個孩子或沒有孩子，注意考慮cur爲根結點時,prev=NULL
if (cur->_left == NULL || cur->_right == NULL)
{
if (cur->_left == NULL)//cur只有右孩子
{
if (prev == NULL)//cur爲根結點時
_root = cur->_right;
else if (prev->_left == cur)
prev->_left = cur->_right;
else
prev->_right = cur->_right;
}
else if (cur->_right == NULL)//cur只有左孩子
{
if (prev == NULL)//cur爲根結點時
_root = cur->_left;
else if (prev->_left == cur)
prev->_left = cur->_left;
else
prev->_right = cur->_left;
}
//刪除cur並置空，包含了cur的左右爲空的情況
delete cur;
cur = NULL;
}
//情況二：cur有左右子樹,替換法刪除
else
{
//先找到cur結點右子樹的最左下結點del
Node* del = cur;
prev = del;
del = del->_right;
while (del->_left)
{
prev = del;
del = del->_left;
}
//替換法，刪除結點del,注意使prev的指向置空
swap(cur->_key, del->_key);
swap(cur->_value, del->_value);
if (prev->_left == del)
prev->_left = NULL;
else if (prev->_right == del)
prev->_right = NULL;
delete del;
del = NULL;
}
}
template<class T>
void BSTree<T>::Remove_R(const T& key)//遞歸算法進行刪除
{
_remove_r(_root, key);
}
template<class T>
void BSTree<T>::_remove_r(Node*& root, const T& key)//遞歸
{
if (_root == NULL)
{
return;
}
if (key < root->_key)
_remove_r(root->_left, key);
else if (key > root->_key)
_remove_r(root->_right, key);
else
{
//情況一：只有一個子樹或沒有,直接使root重新賦值
if (root->_left == NULL || root->_right == NULL)
{
Node* del = root;
if (root->_left == NULL)
root = root->_right;
else if (root->_right == NULL)
root = root->_left;
else
root = NULL;
delete del;
del = NULL;
}
else//情況二：左右子樹都不爲空
{
Node* cur = root->_right;//root右子樹最左下結點，交換兩個結點的值
while (cur->_left)
{
cur = cur->_left;
}
swap(root->_key, cur->_key);
swap(root->_value, cur->_value);
_remove_r(root->_right, key);//在root的右子樹上刪除key，轉換成情況一中左子樹一定爲空
}
}
}