斐波那契數列(Fibonacci sequence),又稱黃金分割數列、因數學家列昂納多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci[1])以兔子繁殖爲例子而引入,故又稱爲“兔子數列”。 指的是這樣一個數列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上,斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義: F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*) #include<iostream> using namespace std; //遞歸形式 //long long fibonacci(int i) //{ // return i < 2 ? i : fibonacci(i - 1) + fibonacci(i - 2); //} void test1() { cout << fibonacci(6) << endl;; } //非遞歸形式 long long fibonacci(int n) { int tem[2]; tem[0] = 1; tem[1] = 1; if (n == 0) { return 0; } if ( n == 1) { return 1; } else { for (int i = 2; i < n; i++) { int temp = tem[0] + tem[1]; tem[1] = tem[0]; tem[0] = temp; } return tem[0]; } } //優化 時間複雜度O(n) long long fibonacci(int n) { long long fibonacci[3] = { 0, 1, n }; for (int i = 2; i <= n; ++i) { fibonacci[2] = fibonacci[1]+fibonacci[0]; fibonacci[0] = fibonacci[1]; fibonacci[1] = fibonacci[2]; } return fibonacci[2]; } int main() { test1(); system("pause"); return 0; }
我們不難發現在這棵樹中有很多結點會重複的,而且重複的結點數會隨着n的增大而急劇增加。這意味這計算量會隨着n的增大而急劇增大。事實上,用遞歸方法計算的時間複雜度是以n的指數的方式遞增的.
在分析算法的時間複雜度的時候,我們也可以得到相同的結果,非遞歸使用的是for循環,其時間複雜度爲O(n)。而遞歸的時間複雜度則比較複雜,其分析出來爲O(2^n)。
這裏需要說明的就是,非遞歸的for循環其時間複雜度O(n)雖然很小,但是其空間複雜度缺比遞歸調用差得多。因爲,for循環在每次循環的時候,都把相應的數值保存下來了,而遞歸調用卻不會保存相應的數值。