一、紅黑樹
1、定義：紅黑樹是一棵二叉搜索樹，它在每個節點上增加了一個存儲位來表示節點的顏色，可以是Red或Black。通過對任何一條從根到葉子簡單路徑上的顏色來約束，紅黑樹保證最長路徑不超過最短路徑的兩倍，因而近似於平衡。
2、性質：
每個節點，非黑即紅；
根節點爲黑色；
如果一個節點是紅色的，則它的2個子節點是黑色的(沒有連續的紅節點)；
對每個節點，從該節點到其所有後代葉節點的簡單路徑上，均包含相同數目的黑色節點。（每條路徑的黑色節點的數量相等）；
每個葉子節點都是黑色的（這裏的葉子節點是指的NIL節點（空節點））；
二、紅黑樹相關
1、紅黑樹保證最長路徑不超過最短路徑的兩倍，因而近似於平衡。
如圖所示，插入節點後，爲了保持紅黑樹，最長路徑最多是最短路徑的 2倍。
2、插入節點：
注：cur爲當前節點，parent父節點，grandpa祖父節點，uncle叔叔節點
（1）第一種情況
cur爲紅，parent爲紅，grandpa爲黑，uncle存在且爲紅 --->
則將parent,uncle改爲黑，grandpa改爲紅，然後把grandpa當成cur，繼續向上調整。
（2）第二種情況
cur爲紅，parent爲紅，grandpa爲黑，uncle不存在/uncle爲黑 --->
parent爲grandpa的左孩子，cur爲p的左孩子，則進行右單旋轉；相反，p爲g的右孩子，cur爲p的右孩子，則進行左單旋轉;
parent、grandpa變色--parent變黑，grandpa變紅。
（3）第三種情況
cur爲紅，parent爲紅，grandpa爲黑，uncle不存在/uncle爲黑 -->
parent爲grandpa的左孩子，cur爲parent的右孩子，則針對parent做左單旋轉；相反，parent爲grandpa的右孩子，cur爲p的左孩子，則針對parent做右單旋轉,則轉換成了情況2。
3、判斷紅黑樹：根據紅黑樹的性質進行判定。
4、紅黑樹和AVL樹的比較：
紅黑樹和AVL樹都是高效的平衡二叉樹，增刪查改的時間複雜度都是O(lg(N))；
紅黑樹的不追求完全平衡，保證最長路徑不超過最短路徑的2倍，相對而言，降低了旋轉的要求，所以性能跟AVL樹差不多，但是紅黑樹實現更簡單，所以實際運用中紅黑樹更多。
三、相關實現
1、節點
enum Color
{
RED,BLACK,
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K,V> *_left;
RBTreeNode<K,V> *_right;
RBTreeNode<K,V> *_parent;
K _key;
V _value;
Color _col;
RBTreeNode(const K& key,const V& value)
:_key(key)
,_value(value)
,_col(RED)
,_left(NULL)
,_right(NULL)
,_parent(NULL)
{}
};2、紅黑樹及相關實現
template<class K,class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K,V> Node;
public:
RBTree()
:_root(NULL)
{}
bool Insert(const K& key,const V& value)
{
//插入節點
if(_root == NULL)
{
_root=new Node(key,value);
return true;
}
Node *cur=_root;
Node *parent=NULL;
while(cur)
{
if(cur->_key < key)
{
parent=cur;
cur=cur->_right;
}
else if(cur->_key > key)
{
parent=cur;
cur=cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur=new Node(key,value);
if(parent->_key < key)
{
parent->_right=new Node(key,value);
parent->_right=parent;
}
else
{
parent->_left=new Node(key,value);
parent->_right=parent;
}
//更正信息
while(cur != _root && parent->_col == RED)
{
Node *grandpa=parent->_right;
if(grandpa->_left == parent)
{
Node *uncle=grandpa->_right;
if(uncle && uncle->_col == RED) // 第1種情況
{
parent->_col=uncle->_col=BLACK;
grandpa->_col=RED;
//繼續向上調
cur=grandpa;
parent=cur->_parent;
}
else
{
// 第3種情況：雙旋轉 --> 單旋轉
if(cur == parent->_right)
{
RotateL(parent);//左單旋
swap(cur,parent);
}
//第2種情況
parent->_col=BLACK;
grandpa->_col=RED;
RotateR(grandpa);//右單旋
break;
}
}
else
{
Node *uncle=grandpa->_left;
if(uncle && uncle->_col == RED) // 第1種情況
{
parent->_col=uncle->_col=BLACK;
grandpa->_col=RED;
//繼續向上調
cur=grandpa;
parent=cur->_parent;
}
else
{
// 第3種情況：雙旋轉 --> 單旋轉
if(cur == parent->_left)
{
RotateR(parent);//左單旋
swap(cur,parent);
}
//第2種情況
parent->_col=BLACK;
grandpa->_col=RED;
RotateR(grandpa);//右單旋
break;
}
}
}
return true;
}
bool IsBlance()
{
if(_root == NULL) return;
if(_root->_col == RED) return false;
int k=0;
Node *cur=_root;
while(cur)
{
if(cur->_col == BLACK)
++k;
cur=cur->_left;
}
int count=0;
return _IsBlance(_root,k,count);
}
protected:
bool _IsBlance(Node *root,const int k,int count)
{
if(root == NULL) return true;
//紅黑樹父子節點顏色不能相同
if(root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout<<"錯誤：出現連續紅色節點"<root->_key<<endl;
return false;
}
if(root->_col == BLACK)
++count;
//每條路徑中黑色節點數量相等
if(root->_left == NULL && root->_right == NULL && k != count)
{
cout<<"錯誤：黑色節點數目不等"<<endl;
return false;
}
return _IsBlance(root->_left,k,count) && _IsBlance(root->_right,k,count);
}
protected:
Node *_root;
};3、總結：
紅黑樹也是一種平衡二叉樹，通過存儲節點的顏色紅黑，對其進行處理，使其處於平衡狀態。紅黑樹插入節點時，主要分三種情況，按照不同情況處理。刪除時和AVL樹類似，只是需要注意旋轉及更該節點顏色。