參考資料：
1.卷積的基本概念
首先，我們有一個二維的濾波器矩陣（有個高大上的名字叫卷積核）和一個要處理的二維圖像。然後，對於圖像的每一個像素點，計算它的鄰域像素和濾波器矩陣的對應元素的乘積，然後加起來，作爲該像素位置的值。這樣就完成了濾波過程。 注意：卷積和協相關的差別是，卷積需要先對濾波矩陣進行180的翻轉，但如果矩陣是對稱的，那麼兩者就沒有什麼差別了。
濾波操作示意圖
對於濾波器，也有一定的規則要求：
- 濾波器的大小應該是奇數，這樣它纔有一箇中心，例如3x3，5x5或者7x7。有中心了，也有了半徑的稱呼，例如5x5大小的核的半徑就是2。
- 濾波器矩陣所有的元素之和應該要等於1，這是爲了保證濾波前後圖像的亮度保持不變。當然了，這不是硬性要求了。
- 如果濾波器矩陣所有元素之和大於1，那麼濾波後的圖像就會比原圖像更亮，反之，如果小於1，那麼得到的圖像就會變暗。如果和爲0，圖像不會變黑，但也會非常暗。
- 對於濾波後的結構，可能會出現負數或者大於255的數值。對這種情況，我們將他們直接截斷到0和255之間即可。對於負數，也可以取絕對值。
2.各個卷積核的使用效果
2.1 啥也不做
啥也不做的卷積覈示例
2.2 圖像銳化濾波器（Sharpness Filter）
圖像的銳化和邊緣檢測很像，首先找到邊緣，然後把邊緣加到原來的圖像上面，這樣就強化了圖像的邊緣，使圖像看起來更加銳利了。這兩者操作統一起來就是銳化濾波器了，也就是在邊緣檢測濾波器的基礎上，再在中心的位置加1，這樣濾波後的圖像就會和原始的圖像具有同樣的亮度了，但是會更加銳利。
我們把核加大，就可以得到更加精細的銳化效果
另外，下面的濾波器會更強調邊緣：
主要是強調圖像的細節。最簡單的3x3的銳化濾波器如下：
實際上是計算當前點和周圍點的差別，然後將這個差別加到原來的位置上。另外，中間點的權值要比所有的權值和大於1，意味着這個像素要保持原來的值。
2.3 邊緣檢測（Edge Detection）
我們要找水平的邊緣。需要注意的是，這裏矩陣的元素和是0，所以濾波後的圖像會很暗（數字圖像中，255對應純白，0對應純黑），只有邊緣的地方是有亮度的。
爲什麼這個濾波器可以尋找到水平邊緣呢？因爲用這個濾波器卷積相當於求導的離散版本：你將當前的像素值減去前一個像素值，這樣你就可以得到這個函數在這兩個位置的差別或者斜率。下面的濾波器可以找到垂直方向的邊緣，這裏像素上和下的像素值都使用：
再下面這個濾波器可以找到45度的邊緣：取-2不爲了什麼，只是爲了讓矩陣的元素和爲0而已。
那下面這個濾波器就可以檢測所有方向的邊緣:
爲了檢測邊緣，我們需要在圖像對應的方向計算梯度。用下面的卷積核來卷積圖像，就可以了。但在實際中，這種簡單的方法會把噪聲也放大了。另外，需要注意的是，矩陣所有的值加起來要是0.
2.4 浮雕（Embossing Filter）
簡單看一下實現浮雕效果所使用的卷積核： 浮雕濾波器可以給圖像一種3D陰影的效果。只要將中心一邊的像素減去另一邊的像素就可以了。這時候，像素值有可能是負數，我們將負數當成陰影，將正數當成光，然後我們對結果圖像加上128的偏移。這時候，圖像大部分就變成灰色了。 下面是45度的浮雕濾波器
我們只要加大濾波器，就可以得到更加誇張的效果了
2.5 均值模糊（Box Filter）
我們可以將當前像素和它的四鄰域的像素一起取平均，然後再除以5，或者直接在濾波器的5個地方（注意：圖中卷積核中心寫錯了，應該是0.2）取0.2的值即可，如下圖：
可以看到，這個模糊還是比較溫柔的，我們可以把濾波器變大，這樣就會變得粗暴了：注意要將和再除以13.
所以，如果你想要更模糊的效果，加大濾波器的大小即可。或者對圖像應用多次模糊也可以。
2.6 高斯模糊（Gaussian Blur）
均值模糊很簡單，但不是很平滑。高斯模糊就有這個優點，所以被廣泛用在圖像降噪上。特別是在邊緣檢測之前，都會用來移除細節。高斯濾波器是一個低通濾波器。
高斯模糊卷積核
2.7 運動模糊（Motion Blur）
簡單看一下實現浮雕效果所使用的卷積核： 運動模糊可以通過只在一個方向模糊達到，例如下面9x9的運動模糊濾波器。注意，求和結果要除以9。
這個效果就好像，攝像機是從左上角移動的右下角。
3.卷積的計算
對圖像處理而言，存在兩大類的方法：空域處理和頻域處理！空域處理是指直接對原始的像素空間進行計算，頻率處理是指先對圖像變換到頻域，再做濾波等處理。
3.1 空域計算-直接2D卷積
- 計算方法： 直接2D卷積就是一開始說的那樣，對於圖像的每一個像素點，計算它的鄰域像素和濾波器矩陣的對應元素的乘積，然後加起來，作爲該像素位置的值。
直接的實現也稱爲暴力實現brute force，因爲它嚴格按照定義來實現，沒有任何優化。當然了，在並行實現裏面，它也是比較靈活的。另外，也存在一個優化版本，如果我們的kernel是separable可分的，那麼就可以得到一個快5倍左右的卷積方法。
- 邊界處理 那捲積核遇到圖像邊緣怎麼辦？例如圖像頂部的像素，它的上面已經沒有像素了，那麼它的值如何計算？目前有四種主流的處理方法，我們用一維卷積和均值濾波來說明下。 我們在1D圖像中，用每個像素和它的二鄰域的平均值來取代它的值。假設我們有個1D的圖像I是這樣的：
對非圖像邊界的像素的操作比較簡單。假設我們對I的第四個像素3做局部平均。也就是我們用2,3和7做平均，來取代這個位置的像素值。也就是，平均會產生一副新的圖像J，這個圖像在相同位置J (4) = (I(3)+I(4)+I(5))/3 = (2+3+7)/3 = 4。同樣，我們可以得到J(3) = (I(2)+I(3)+I(4))/3 =(4+2+3)/3 = 3。需要注意的是，新圖像的每個像素都取決於舊的圖像，在計算J (4)的時候用J (3)是不對的，而是用I(3)，I(4)和I(5)。所以每個像素都是它和它鄰域兩個像素的平均。平均是線性的操作，因爲每個新的像素都是舊像素的線性組合。 對卷積，也有必須要考慮的情況是，在圖像邊界的時候，怎麼辦？J(1)的值應該是什麼？它取決於I(0)，I(1)和I(2)。但是我們沒有I(0)呀！圖像左邊沒有值了。有四種方式來處理這個問題：
方法一：想象I是無限長的圖像的一部分，除了我們給定值的部分，其他部分的像素值都是0。在這種情況下，I(0)=0。所以J(1) = (I(0) + I(1) + I(2))/3 = (0 + 5 + 4)/3= 3. 同樣，J(10) = (I(9)+I(10)+I(11))/3 = (3+ 6 + 0)/3 = 3.
方法二：想象I是無限圖像的一部分。但沒有指定的部分是用圖像邊界的值進行拓展。在我們的例子中，因爲圖像I最左邊的值I(1)=5，所以它左邊的所有值，我們都認爲是5 。而圖像右邊的所有的值，我們都認爲和右邊界的值I(10)一樣，都是6。這時候J(1) = (I(0) + I(1) + I(2))/3 = (5 + 5 + 4)/3= 14/3. 而J(10) = (I(9)+I(10)+I(11))/3 = (3 + 6 + 6)/3 = 5。
方法三：認爲圖像是週期性的。也就是I不斷的重複。週期就是I的長度。在我們這裏，I(0)和I(10)的值就是一樣的，I(11)的值和I(1)的值也是一樣的。所以J(1) = (I(0) + I(1) + I(2))/3= (I(10) + I(1)+ I(2))/3 = (6 + 5 + 4)/3 = 5 。
3.2 頻域計算-快速傅里葉變換FFT卷積
後面的部分還沒學習，詳見：http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/49080029
4.圖像濾波
4.1 圖像濾波的目的
濾波就是要去除沒用的信息，保留有用的信息，可能是低頻，也可能是高頻
4.2 圖像的濾波方法
圖像的濾波方法很多，主要可以分爲頻率域法和空間域法兩大類。頻率域法的處理是在圖像的某種變換域內，對圖像的變換系數值進行運算，然後通過逆變換獲得增強圖像。這是一種間接的圖像濾波方法。空間濾波方法是一類直接的濾波方法，它在處理圖像時直接對圖像灰度作運算。
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頻率域濾波將圖像從空間或時間域轉換到頻率域，再利用變換系數反映某些圖像特徵的性質進行圖像濾波。 傅立葉變換是一種常用的變換。在傅立葉變換域，頻譜的直流分量正比於圖像的平均亮度，噪聲對應於頻率較高的區域，圖像實體位於頻率較低的區域。圖像在變換具有的這些內在特性可被用於圖像濾波。可以構造一個低通濾波器，使低頻分量順利通過而有效地阻於高頻分量，即可濾除圖像的噪聲，再經過反變換來取得平滑的圖像。
低通的數學表達式如下所示：
F(u,v)表示原圖的在傅里葉域的圖像 H(u,v)表示傳遞函數（即低通濾波器） G(u,v)表示經過低通濾波的F(u,v)
選擇適當的傳遞函數H (u, v)對頻率域低通濾波關係重大。常用的傳遞函數有梯形函數、指數函數、巴特沃思函數等。
頻域常用的幾種低通濾波器爲：理想低通濾波器(Ideal circular Iow-passfilter)、巴特沃思(Butterworth)低通濾波器、指數低通濾波器及梯形低通濾波器。這些低通濾波器，都能在圖像內有噪聲干擾成分時起到改善的作用。
平面空間域濾波
平面空間域濾波法主要分爲兩類：
- 擬合圖像的方法，包括n階多項式擬合、離散正交多項式擬合、二次曲面擬合等
- 平滑圖像的方法，包括領域平均法、中值濾波法、梯度倒數加權法、選擇式掩模法等
平面空間域濾波主要使用兩種濾波器：
- 高通濾波器：邊緣提取與增強。邊緣區域的灰度變換加大，也就是頻率較高。所以，對於高通濾波，邊緣部分將被保留，非邊緣部分將被過濾
- 低通濾波：將會是邊緣部分變得平滑。
注意：高斯濾波是一種線性平滑濾波，即低通濾波，適用於消除高斯噪聲。常用的高斯模板有如下幾種形式：
高斯模板中的參數是通過高斯函數計算出來的。計算高斯模板參數時，通過如下公式：
x的平方和y的平方分別表示的是鄰域內其他像素與鄰域內中心像素的距離，Sigmma代表的是標準差。
實驗效果圖：（後面補）
常見的低通濾波實驗效果圖
線性與非線性濾波
- 線性濾波：
線性濾波器的原始數據與濾波結果是一種算術運算，即用加減乘除等運算實現，如
均值濾波器（模板內像素灰度值的平均值）、高斯濾波器（高斯加權平均值）等。由於線性濾波器是算術運算，有固定的模板，因此濾波器的轉移函數是可以確定並且是唯一的（轉移函數即模板的傅里葉變換）。 - 非線性濾波：
非線性濾波器的原始數據與濾波結果是一種邏輯關係，即用邏輯運算實現，如
最大值濾波器、最小值濾波器、中值濾波器等，是通過比較一定鄰域內的灰度值大小來實現的，沒有固定的模板，因而也就沒有特定的轉移函數（因爲沒有模板作傅里葉變換），另外，膨脹和腐蝕也是通過最大值、最小值濾波器實現的。五種常見的非線性濾波算子，這五種濾波算子對不同的圖像都會有不同的作用，最常用的是中值濾波，因爲它的效果最好且信息損失的最少。- 極大值濾波: 極大值濾波就是選取像素點領域的最大值作爲改點的像素值，有效率去了灰度值比較低的噪聲，也可作爲形態學裏面的膨脹操作。
- 極小值濾波: 與極大值濾波相反。
- 中點濾波： 中點濾波器將鄰域的最大和最小值求平均來代替當前像素點值。
- 中值濾波: 中值濾將鄰域內像素點值排序，用序列中的中值取代當前像素點值。可以消除圖像中的長尾噪聲，例如負指數噪聲和椒鹽噪聲。
- 加權中值濾波（中值濾波的改進）
網上的解釋：加權中值濾波是在中值濾波的基礎上加以改進，其性能在一定程度上優於中值濾波。 下面是自己在算法上的改進，以例子說明： 若說選模板的大小爲5，那麼這個模板就唯一確定爲： 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 5 5 5 5 5 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 上圖中的數字表式改點像素在序列中出現的次數。然後根據模板平滑圖像。實驗證明該方法好於傳統中值濾波。自己的理解：加權中值濾波就是在對鄰域像素值進行排序時，有些像素值讓它多出現幾次。比如上面的模板，就是讓與當前像素點同行同列的像素點的值都出現5次。
5.結語
圖像的卷積核濾波是圖像處理中比較基礎又很重要的部分，主要應用在去除圖像噪聲，提取圖像邊緣等場合。 文中如有不當之處歡迎留言。我們下次再見。