轉載請註明出處：http://blog.csdn.net/ns_code/article/details/27568975
這篇文章沒有代碼，介紹的是純理論的思路。
異或是一種基於二進制的位運算，用符號XOR或者 ^ 表示，其運算法則是對運算符兩側數的每一個二進制位，同值取0，異值取1。它與布爾運算的區別在於，當運算符兩側均爲1時，布爾運算的結果爲1，異或運算的結果爲0。
異或的性質：
1、交換律：a^b = b^a；
2、結合律：(a^b)^c = a^(b^c)；
3、對於任意的a：a^a=0，a^0=a，a^(-1)=~a。
瞭解了上面這些，來看看這個，很重要，後面的程序都要用到這個結論：
對於任意的a，有a^b^c^d^a^k = b^c^d^k^(a^a) = b^c^d^k^0 = b^c^d^k，也就是說，如果有多個數異或，其中有重複的數，則無論這些重複的數是否相鄰，都可以根據異或的性質將其這些重複的數消去，具體來說，如果重複出現了偶數次，則異或後會全部消去，如果重複出現了奇數次，則異或後會保留一個。
下面來看兩道題目：
1、1-1000放在含有1001個元素的數組中，只有唯一的一個元素值重複，其它均只出現一次。每個數組元素只能訪問一次，設計一個算法，將它找出來；不用輔助存儲空間，能否設計一個算法實現？
當然，這道題，可以用最直觀的方法來做，將所有的數加起來，減去1+2+3+...+1000的和，得到的即是重複的那個數，該方法很容易理解，而且效率很高，也不需要輔助空間，唯一的不足時，如果範圍不是1000，而是更大的數字，可能會發生溢出。
我們考慮用異或操作來解決該問題。現在問題是要求重複的那個數字，我們姑且假設該數字式n吧，如果我們能想辦法把1-1000中除n以外的數字全部異或兩次，而數字n只異或一次，就可以把1-1000中出n以外的所有數字消去，這樣就只剩下n了。我們首先把所有的數字異或，記爲T，可以得到如下：
T = 1^2^3^4...^n...^n...^1000 = 1^2^3...^1000（結果中不含n）
而後我們再讓T與1-1000之間的所有數字（僅包含一個n）異或，便可得到該重複數字n。如下所示：
T^(a^2^3^4...^n...^1000) = T^(T^n) = 0^n = n
這道題到此爲止。
2、一個數組中只有一個數字出現了一次，其他的全部出現了兩次，求出這個數字。
明白了上面題目的推導過程，這個就很容易了，將數組中所有的元素全部異或，最後出現兩次的元素會全部被消去，而最後會得到該只出現一次的數字。
該題目同樣可以該爲如下情景，思路是一樣的：數組中只有一個數字出現了奇數次，其他的都出現了偶數次。
題目描述：一個整型數組裏除了兩個數字之外，其他的數字都出現了兩次。請寫程序找出這兩個只出現一次的數字。輸入：
每個測試案例包括兩行：
第一行包含一個整數n，表示數組大小。2<=n <= 10^6。
第二行包含n個整數，表示數組元素，元素均爲int。
輸出：對應每個測試案例，輸出數組中只出現一次的兩個數。輸出的數字從小到大的順序。樣例輸入：
8 2 4 3 6 3 2 5 5
樣例輸出：
4 6
思路：上篇博文中已經瞭解到異或去重的原理，而且知道如果只有一個只出現一次的數字的求法，但這裏是有兩個只出現一次的數字，我們便要想辦法把他分爲兩個子數組，每個子數組中包含一個只出現一次的數字，其他的數字都出現了兩次。劍指offer上的思路很巧妙，依然從頭到尾異或所有的數字，這樣得到的結果實際上就是兩個只出現了一次的數字異或的結果，我們在異或後的結果中找出其二進制中最右邊爲1的位，該位既然爲1，說明異或的兩個數字對應的該位肯定不同，必定一個爲1，一個爲0，因此我們可以考慮根據此位是否爲1來劃分這兩個子數組，這樣兩個只出現一次的數字就分開了，但我們還要保證出現兩次的數字都分到同一個子數組中，肯定不能兩個重複的數字分在兩個不同的子數組中，這樣得到的結果是不對的，很明顯，相同的數字相同的位上的值是相同的，要麼都爲1，要麼都爲0，因此我們同樣可以通過判斷該位是否爲1來將這些出現兩次的數字劃分到同一個子數組中，該位如果爲1，就分到一個子數組中，如果爲0，就分到另一個子數組中。這樣就能保證每個子數組中只有一個出現一次的數字，其他的數字都出現兩次，分別全部異或即可得到這兩個只出現一次的數字。時間複雜度爲O(n)。
另外，所有元素異或後，在找出最右邊爲1的時，我用的比劍指offer上更簡潔的代碼，主要用到了下面的結論：
對於一個數字X，X&(-X)之後得到的數字，是把X中最右邊的1保留下來，其他位全部爲0。注意，這裏的-X是X的相反數，-X=~X+1，這裏的~X意思是對X所有位取反，不要將二者弄混了。
下面是AC的代碼：
[cpp] view plaincopy
- #include<stdio.h>
- #include<stdbool.h>
- /*
- 返回num的最低位的1，其他各位都爲0
- */
- int FindFirstBit1(int num)
- {
- //二者與後得到的數，將num最右邊的1保留下來，其他位的全部置爲了0
- return num & (-num);
- }
- /*
- 判斷data中特定的位是否爲1，
- 這裏的要判斷的特定的位由res確定，
- res中只有一位爲1，其他位均爲0，由FindFirstBit1函數返回，
- 而data中要判斷的位便是res中這唯一的1所在的位
- */
- bool IsBit1(int data,int res)
- {
- return ((data&res)==0) ? false:true;
- }
- void FindNumsAppearOnce(int *arr,int len,int *num1,int *num2)
- {
- if(arr==NULL || len<2)
- return;
- int i;
- int AllXOR = 0;
- //全部異或
- for(i=0;i<len;i++)
- AllXOR ^= arr[i];
- int res = FindFirstBit1(AllXOR);
- *num1 = *num2 = 0;
- for(i=0;i<len;i++)
- {
- if(IsBit1(arr[i],res))
- *num1 ^= arr[i];
- else
- *num2 ^= arr[i];
- }
- }
- int main()
- {
- static int arr[1000000];
- int n;
- while(scanf("%d",&n) != EOF)
- {
- int i;
- for(i=0;i<n;i++)
- scanf("%d",arr+i);
- int num1,num2;
- FindNumsAppearOnce(arr,n,&num1,&num2);
- if(num1 < num2)
- printf("%d %d\n",num1,num2);
- else
- printf("%d %d\n",num2,num1);
- }
- return 0;
- }