Codeforces 1058C(思維+最大公因數)

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分析

引理1:三角形的面積$\times 2$一定是整數
由座標系中的三角形面積公式
$S=\frac{1}{2}(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2)$
顯然得證
故若$\frac{2nm}{k}$是整數,則有解,否則無解

引理2:一定能構造出一個直角邊平行於座標軸的直角三角形,使它的面積爲$\frac{nm}{k}$
設直角三角形兩直角邊爲$a,b$
則$ab=\frac{2nm}{k} \leq nm$
由引理1$\frac{2nm}{k}$爲正整數,所以一定可以找到一對正整數$(a,b)$滿足條件

那麼,如何構造$a\leq n,b\leq m$的情況呢
顯然$2n$或$2m$與$k$不互質
(1)若$gcd(2n,k) \neq 1$,則$a=\frac{2n}{gcd(2n,k)},b=\frac{2nm}{ak}$
由於$2 \leq gcd(2n,k) \leq k$
則$a \leq n$
$b=\frac{2nm}{ak} =\frac{2nm}{\frac{2kn}{gcd(2n,k)}}$=$\frac{m \times gcd(2n,k)}{k} \leq \frac{mk}{k}=m$
(2)若$gcd(2n,k) = 1$,則$a=n,b=\frac{2m}{k}$
由於$k \geq 2$,$b \leq m$

代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
inline long long gcd(long long a,long long b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
long long n,m,k;
int main(){
	cin>>n>>m>>k;
	if((n*m*2)%k!=0){
		printf("NO\n");
	}else{
		printf("YES\n");
		long long S=(n*m*2)/k;
		long long a,b;
		if(gcd(n*2,k)!=1){
			a=n*2/gcd(n*2,k);
			b=S/a;
		}else{
			a=n;
			b=m*2/k;
		} 
		printf("0 0\n");
		printf("%I64d 0\n",a);
		printf("%I64d %I64d\n",a,b);
	}
}