題面
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C. On the Bench
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A year ago on the bench in public park Leha found an array of n numbers. Leha believes that permutation p is right if for all 1 ≤ i < n condition, that api·api + 1 is not perfect square, holds. Leha wants to find number of right permutations modulo 109 + 7.
Input
First line of input data contains single integer n (1 ≤ n ≤ 300) — length of the array.
Next line contains n integers a1, a2, … , an (1 ≤ ai ≤ 109) — found array.
Output
Output single integer — number of right permutations modulo 109 + 7.
Examples
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3
1 2 4
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2
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7
5 2 4 2 4 1 1
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144
Note
For first example:
[1, 2, 4] — right permutation, because 2 and 8 are not perfect squares.
[1, 4, 2] — wrong permutation, because 4 is square of 2.
[2, 1, 4] — wrong permutation, because 4 is square of 2.
[2, 4, 1] — wrong permutation, because 4 is square of 2.
[4, 1, 2] — wrong permutation, because 4 is square of 2.
[4, 2, 1] — right permutation, because 8 and 2 are not perfect squares.
中文題目大意:
給出n個正整數數，求將n個數排列成相鄰兩個數之積不是完全平方數的序列的方法數，結果模1000000007
分析
此題是一道綜合性題目，考察了DP，組合數學和數論知識
我們先從DP入手
在DP之前，要做一個預處理，將n個數分成size組，每組中的數相乘爲完全平方數，與其他數乘起來不能得到完全平方數的數單獨一組
如1 4 2 5 9 可以分爲{1.4.9}，{2}，{5}三組
接着開始推導DP方程
分解子狀態：設dp[i][j] 表示前i組數中有j個不合法的數對時的方法數（一個不合法數對即兩個數乘起來是完全平方數，如1,9）
設第i組有cnt個數，前i組一共有sum個數
第i組數的順序可以任意排列，有cnt!種排法
我們將第i組分爲k段，則產生了k個不合法的序列，分爲s段的方法數爲C（cnt-1,k-1) .可以這樣想象，在第i組數中間的cnt-1個間隔中，插入k-1個隔板，把cnt個數分爲k段
從前面j個數對不合法的中選p個數對，有C（j,p)種方法，將k組數中的p組插入到數對中，使每個數對中間有一組數，這樣就消除了p個不合法數對
如數對（1,4) 可以用插入數對（5,20）來消除
數列變成5,1,20,4
k組數中的另外(k-p)組數則另外選位置插入。在sum+1個可插入的位置(頭尾也可以插入），原來不合法的j個空缺不能插入，因此只能插入到sum+1-j個位置，有C（sum+1-j,k-p）種方法,這s-p組數本身是不合法的。
原本這cnt個數連續排在一起是不合法的，會產生cnt-1個不合法數對，但我們用k-1個隔板隔開後，有k-1個位置變成合法的了，每組數因此又會產生cnt-k個不合法位置
如：1 4 9 ，分爲{1,4}，{9}插入到序列A,B,C中
A 1 4 B 9 C ，有1個位置不合法，即1,4
這樣插入過後，消除了p個不合法數對，新增了cnt-k個不合法數對，總不合法數對個數爲j-p+cnt-k個
於是我們就實現了從dp[i-1][j]到dp[j-p+cnt-k]的轉移
狀態轉移方程爲: