P2401 不等數列

P2401 不等數列

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思路：這個數據$k<n\leq1e3$。顯然可以考慮$dp$。

令$dp[i][j]$表示前$i$個數有$j$個小於號的排列數。

假設我們已知前$i-1$個數所有情況。

接下來我們需要插入第$i$個數，我們有$i$個位置插入。

對於最左邊和最右邊，顯然是增加一個大於號和小於號。

對於其他位置：1.插入到大於號的位置：顯然小於號增加一個$(x>y)\rightarrow(x<i>y)$

2.插入到小於號的位置：$(x<y)\rightarrow (x<i>y)$，大於號增加一個。

因此小於號的個數只會是非減的。

於是有$dp[i][j]=dp[i-1][j]\times (j+1)$

$(j+1)$表示有$(j+1)$個位置插入後小於號的數目不變，即最左邊和$j$個大於號的位置。

$2.dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\times(i-j)$。表示$(i-j)$位置插入後小於號個數增加一個，$(i-[(j-1)+1])=(i-j)$，有$(j-1)+1$個位置是小於號個數不變。

則另外$(i-j)$個位置是使小於號加1.

綜上$dp[i][j]=dp[i-1]\times(j+1)+dp[i-1][j-1]\times(i-j)$

時間複雜度:$O(kn)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=2015;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int dp[N][N],n,k; 
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=min(i-1,k);j++)
			dp[i][j]=(dp[i-1][j]*(j+1)+dp[i-1][j-1]*(i-j))%mod;
	printf("%d\n",dp[n][k]); 
	return 0;
}