数据结构之二叉树
- 一种非线性数据结构
- 树（森林）
- 四种表示方法
- 树形表示法
- 嵌套集合表示法
- 凹入表表示法
- 广义表表示法
- 四种表示方法
- 二叉树
- 五种基本形态
- 空二叉树
- 单结点的二叉树
- 右子树为空的二叉树
- 左子树为空的二叉树
- 左右子树均非空的二叉树
- 两种特殊的二叉树
- 满二叉树：一颗二叉树的深度为k，则其有2^k-1个节点。
- 完全二叉树：先把前面的节点填满才能填后面的。满二叉树是完全二叉树的特例。
- 遍历二叉树
- 五种基本形态
- 树形结构的存储方式：链式存储和顺序存储
- 线索二叉树
- 堆
- 堆的构造
- 堆的插入与删除
- 哈夫曼树：一类带权路径长度最短的树。
几种树的名称：多叉树、二叉树、二叉排序树、完全二叉树、完全二叉排序树、平衡二叉树、平衡二叉排序树（AVL树）
满二叉树是完全二叉树中的一种特殊情况；堆是完全二叉树中的一种特殊情况。完全二叉树是平衡二叉树中的一种。
二叉树的性质：
- 在二叉树第i层上至多有2^(i-1)个节点(i>=1)
- 深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点
- 对任何一棵二叉树T，设n_0、n_2分别是叶节点的个数和度为2的节点的个数，则有n_0=n_2+1。
- 具有n个节点的完全二叉树的深度为「log2(n)」+1。（向下取整）
- 对于一棵有n个节点的完全二叉树，其任何一个编号为i的节点（1<=i<=n），都有以下结果：
- 关于父节点：
- 若i=1，则节点i是根节点，无父节点；
- 若i>i，则节点i的父节点是节点「i/2」。
- 对于左子节点：
- 若2i<n，则节点 i 的左子节点是2i；
- 若2i>n，则节点 i 无左子节点。
- 对于右子节点：
- 若2i+1<n，则节点 i 的右子节点是2i+1；
- 若2i+1>n，则节点 i 无右子节点。
- 关于父节点：
二叉树的存储方式：
- 顺序存储结构：适合完全二叉树；完全二叉树可用一维数组依次存储它的各节点。
- 链式存储结构：对于一般二叉树（非完全二叉树），比较适合使用一种二叉链表结构（非线性链表）来存储；在这种链表中，每个节点至少包含3个域：数据域和左、右指针域。
二叉树的遍历：
- 前序：即先根遍历（整棵树的根节点在最前面），遍历顺序为：根—左子树—右子树；按照这种顺序遍历，直至没有子节点为止。
- 中序：即中根遍历，遍历顺序为：左子树—根—右子树；
- 后序：即后根遍历（整棵树的根节点在最后面），遍历顺序为：左子树—右子树—根
在编程实现时，前三种遍历需要借助递归实现。
- 按层遍历：从根节点开始逐层向下遍历，直至最后一层。对于同一层的节点，由左向右遍历。
树的存储结构：
- 父节点表示法：除根节点外每个节点都有一个指向其父节点的指针，而不要求每个节点具有指向子节点的指针。这种表示法只需要用一维数组来存储树的有关信息。
- 子节点表示法
- 树的子节点-父节点表示法
- 子节点-兄弟表示法：又称为二叉链表表示法，以二叉链表的形式作为树的存储结构。
二叉排序树：见百度百科
二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
- 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 左、右子树也分别为二叉排序树；
- 没有键值相等的节点。
几种特殊的二叉树：
- AVL树，即（严格）平衡二叉排序树，满足以下性质：
- 它的左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1
- 它的左、右子树都是平衡二叉排序树。
- 红黑树：一种非严格平衡二叉排序树。AVL树与红黑树的比较
- 堆：一种特殊的完全二叉树。堆总是满足下列性质：
-
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
根节点（堆顶元素）最大的堆叫做最大（值）堆或最大根堆，根节点最小的堆叫做最小（值）堆或最小根堆。
B-树：多叉平衡查找树，适合在外存（如磁盘文件）进行数据存储和查找。