文章目录
- 先修知识
- 希腊字母$$\alpha$$ $$\gamma$$
- 上下标$$C_n^2$$
- 矢量$$\vec{a}$$ $$\overrightarrow{xy}$$
- 希腊字母$$\alpha$$
- 上下标$$C_n^2$$
- 未知数符号$$\mathsf{A}$$
- 分组$$10^{10}$$
- 分数$$\frac{x}{y}$$
- 求和$$\sum_{i=1}^n{a_i}$$
- 极限$$\lim_{x \to 0}{x^2}$$
- 积分$$\int_0^\infty{fxdx}$$
- 开根式$$\sqrt[x]{y}$$
- 特殊函数$$\sin x$$ $$\ln x$$$$\max(A,B,C)$$
- 特殊符号
- 空格$$a\ b$$ $$a\quad b$$
- 矩阵
- 方程组
- 参考文献引用
- 什么是向量
先修知识
- 知识点参考链接 : 简书–MathJax
- 快速掌握常用数学公式的Markdown写法
希腊字母
\alpha ; \gamma
上下标
C_n^2
矢量
\vec{a} \overrightarrow{xy}
希腊字母
上下标
C_n^2
未知数符号
\mathsf{A}
分组
10^{10}
分数
\frac{x}{y}
求和
\sum_{i=1}^n{a_i}
极限
\lim_{x\to 0}{x^2}
积分
\int_0^\infty{fxdx}
开根式
\sqrt[x]{y}
特殊函数
\sin x$` `$\ln x$` `$\max(A,B,C)
特殊符号
空格
a\ b ; a\quad b
矩阵
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{bmatrix}
横省略号:\cdots
竖省略号:\vdots
斜省略号:\ddots
方程组
\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3\\
\end{cases}
参考文献引用
感谢[谷歌][1],[简书][2],[CSDN][3]的资料
[1]:www.google.com
[2]:www.jianshu.com
[3]:www.csdn.cn
什么是向量
1. 物理视角:向量就是空间中的箭头
只有长度与方向
2. 计算机视角:向量是有序的数字列表,根据顺序定义属性或抽象含义
对房屋建模,抽象房屋的属性,如房价和面积,写成这种形式
此时在计算机系学生的眼里:这个列表代表着一套129平方,27000一平m的房子.
3. 计算机学生视角
此时向量不过是列表的一个花俏说法,只不过因为list.len==2,才称它是二维向量.
4. 数学系学生视角
就是座标系的变换与运算.
向量通常以原点为起点,实现向量加法+向量数乘.
例一: 例二:
5. 二维向量
每一个二维向量会给出唯一的平面方向与长度,每一个向量恰好有唯一一对数表示
6. 三维向量
每个三维向量都有一个唯一的一组三元序列对应
7. 向量相加的本质是维度相加
8. 向量的数乘本质是每个维度分量与标量相乘,即方向不变,长度改变(正负)
9. 线性代数为大数据提供批量处理与可视化的理论依据
大数据们
线性视图
10. 向量的形成
所有二维向量都是由一组基底($\vec{i},\vec{j}$
)的两个分量拉伸变换而来.
一般取为x轴的,取为y轴的
所以 向量vector = scalar_1 x basis_1 + scalar_2 x basis_2
11. 任意基底
What if we choose different basis vectors?
我们要知道,正是有了通用的统一的基底,我们才能在世界任何地方把一组数字转换成一个向量
总结: 向量依赖于基底,基底乘上不同线性标量构成的向量集合称为张成的空间.注:标量必须是实数
画图
为画图方便,先定义座标原点,再依据向量确定该向量的终点.打点
发现
三元向量保持一个向量不变,只变其中两个向量,则张成的空间是一个平面
当我们缩放第三个分量时,前两个分量张成的平面将沿第三个分量的缩放方向来回扫动,从而扫过整个空间
12.Linearly dependent 线性相关
-
上图当第三方向量刚好落在前两个向量组成的平面上,或两个向量落在同一条直线上.
-
此时抽掉其中一个向量也不会影响张成的空间,则称向量与或向量`与是线性相关的
13.Linearly independent 线性无关
- 新添加的向量能给张成的空间带来新维度
- 故:向量的基底就是可以张成该空间的所有线性无关向量的集合
- 所以:向量的一组基底就是张成空间的基底的最小集
14. Linear transformation 线性变换
不死记硬背理解矩阵向量乘法
上述表达式蕴涵了一种线性变换思想,本质起始就是func()的一种
变换;暗示了我们向量函数应当从空间运动角度理解,本质是如何把向量甲通过与另一向量规则作用变换成乙向量
线性变换定义:
- 直线在空间变换后仍是直线
- 原点始终保持固定
- 典型:保持网格线平行且等距分布的变换
如平面直角座标系 - 定义向量
$\vec{x,y}$二维矩阵满足
如
就表示
.
我们发现向量是向量()的一个特定的线性组合.看图可知,我们在只知道与
的落脚点的情况下,一定能根据线性组合得到
的落脚点
矩阵乘法的意义
任意一组基底,如基底
(1,-2)+基底
(3,0)组成的矩阵乘以线性组合C = x
+y
`里的系数(x,y)的结果是C的值(一个二维向量)
式子为