最简单的二分查找情况下，我们假设数组中没有重复元素，因此很容易实现。如果数组中存在重复元素，二分查找就没有想象中那么容易了。
1. 查找第一个值等于给定值的元素？
如果数据中存在相同的元素，但我们要查找第一个值等于给定值的元素，如果直接用最简单的二分查找，显然是不满足的。
看下面的例子，有 3 个等于 8 的元素，简单二分查找会返回 7，但第一个值等于 8 的元素应该是 a[5]。
其实，只要我们在简单二分查找的基础上再多加上一点限制即可。
当我们发现 a[mid] = val 时，我们需要继续确认 a[mid] 左边还有没有等于 val 的元素。若 mid 左边没有和 a[mid] 相等的元素，则此时 a[mid] 就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。另外，若 mid 到了第一个元素的位置，说明左边已经没有元素，此时 a[mid] 也即是我们要找的元素。否则，我们就需要继续向左边查找。
float Binary_Search(float data[], int left, int right, float value)
{
int begin = left;
while (left <= right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (value == data[mid])
{
if (mid == begin || a[mid - 1] != a[mid]) return mid;
else right = mid - 1;
}
else if (value < data[mid])
{
right = mid - 1;
}
else
{
left = mid + 1;
}
}
return -1;
}2. 查找最后一个值等于给定值的元素？
这个问题和上面要查找第一个值等于给定值的问题思路一样，只不过是查找的方向改变了。
当我们发现 a[mid] = val 时，我们需要继续确认 a[mid] 右边还有没有等于 val 的元素。若 mid 右边没有和 a[mid] 相等的元素，则此时 a[mid] 就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。另外，若 mid 到达了最后一个元素的位置，说明右边已经没有元素，此时 a[mid] 也即是我们要找的元素。否则，我们就需要继续向右边查找。
float Binary_Search(float data[], int left, int right, float value)
{
int end = right;
while (left <= right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (value == data[mid])
{
if (mid == end || a[mid + 1] != a[mid]) return mid;
else left = mid + 1;
}
else if (value < data[mid])
{
right = mid - 1;
}
else
{
left = mid + 1;
}
}
return -1;
}3. 查找第一个大于等于给定值的元素？
当我们发现 a[mid] >= val 时，我们需要继续确认 a[mid] 左边还有没有大于等于 val 的元素。若 mid 左边的值小于 a[mid]，则此时 a[mid] 就是我们要找的第一个大于等于给定值的元素。另外，若 mid 到达了第一个元素的位置，说明左边已经没有元素，此时 a[mid] 也即是我们要找的元素。否则，我们就需要继续向左边查找。
float Binary_Search(float data[], int left, int right, float value)
{
int begin = left;
while (left <= right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (data[mid] >= value)
{
if (mid == begin || a[mid - 1] < a[mid]) return mid;
else right = mid - 1;
}
else
{
left = mid + 1;
}
}
return -1;
}4. 查找最后一个小于等于给定值的元素？
当我们发现 a[mid] <= val 时，我们需要继续确认 a[mid] 右边还有没有小于等于 val 的元素。若 mid 右边的值大于 a[mid]，则此时 a[mid] 就是我们要找的最后一个小于等于给定值的元素。另外，若 mid 到达了最后一个元素的位置，说明右边已经没有元素，此时 a[mid] 也即是我们要找的元素。否则，我们就需要继续向右边查找。
float Binary_Search(float data[], int left, int right, float value)
{
int end = right;
while (left <= right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if (data[mid] <= value)
{
if (mid == end || a[mid + 1] > a[mid]) return mid;
else left = mid + 1;
}
else
{
right = mid - 1;
}
}
return -1;
}5. 如何快速定位 IP 对应的省份？
当我们要查找 202.102.133.13 这个 IP 地址的归属地时，我们就在地址库中搜索，发现这个 IP 位于 [202.102.133.0, 202.102.133.255] 这个范围内，我们就可以找到对应的归属地——山东东营。
[202.102.133.0, 202.102.133.255] 山东东营市
[202.102.135.0, 202.102.136.255] 山东烟台
[202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛
[202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁
[202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州
[202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港因此，我们可以按照 IP 地址库的起始地址对所有区间进行排序，然后问题就转化为了找到最后一个起始地址小于等于给定 IP 地址的区间。
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