永琳的竹林迷徑（path）

永琳的竹林迷徑（path）

題目描述

 

竹林可以看作是一個n 個點的樹，每個邊有一個邊長wi，其中有k 個關鍵點，永琳需要破壞這些關鍵點才能走出竹林迷徑。

然而永琳打算將這k 個點編號記錄下來，然後隨機排列，按這個隨機的順序走過k 個點，但是兩點之間她只走最短路線。初始時永琳會施展一次魔法，將自己傳送到選定的k 個點中隨機後的第一個點。

現在永琳想知道，她走過路程的期望是多少，答案對998244353 取模。

注意，如果對期望不理解，題目最後有詳細解釋，請自行閱讀。

 

輸入

 

第一行一個數Case，表示測試點編號。（樣例的編號表示其滿足第Case 個測試點的性質）

下一行一個n，表示樹的點數。

下面 n-1 行，每行三個數ui,vi,wi，表示一條邊連接ui和vi，長度爲wi。

下面一行一個數k，表示關鍵點數。

下面一行k 個數，表示k 個關鍵點的編號。

 

輸出

 

一行一個數，表示答案(對998244353 取模)。

 

 

數據範圍

對於 100%的數據，保證1≤wi≤1041≤wi≤104。

測試點編號	n	k	特殊性質
1	≤10≤10	=1=1	無
2
3		≤5≤5
4
5	≤1000≤1000	≤7≤7
6
7	≤105≤105	≤8≤8
8
9
10		≤16≤16
11
12
13		≤105≤105
14
15
16
17
18	≤106≤106	≤106≤106	是一條鏈
19
20
21			無
22
23
24
25

 

【可能會用到的知識】

關於期望：

期望的定義：離散隨機變量的一切可能值與其對應的概率P 的乘積之和稱爲數學期望。

即: E(x)=∑P(x=k)×val(k)E(x)=∑P(x=k)×val(k)

其中E(x)是期望，P(x=k)是 x=k 發生的概率。

提示：答案必定可以表示成pqpq的形式，在模意義下，pq=p×q−1pq=p×q−1，其中q−1q−1是qq的逆元。

【提示】

讀入數據較大，請使用快速的讀入方式。

 

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solution

本題求有序走完一個排列的期望長度。

考慮一個點i之前是j的貢獻：dist[i]+dist[j]-2*dist[lca]

算出所有點的dist的貢獻，lca的貢獻則做一次類似樹形dp的東西

一個點不同子樹互相走的數量就是它作lca的貢獻

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 1000006
#define mod 998244353
#define ll long long
using namespace std;
int n,num,head[maxn],s[maxn],flag[maxn],t1,t2,t3,tot;
int Te,size[maxn];
ll ans,Sum,ny2,ny,d[maxn];
struct node{
    int v,nex,w;
}e[maxn*2];
int read(){
    int v=0,ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));v=ch-48;
    while(isdigit(ch=getchar()))v=(v<<1)+(v<<3)+ch-48;
    return v;
}
void lj(int t1,int t2,int t3){
    e[++tot].v=t2;e[tot].w=t3;e[tot].nex=head[t1];head[t1]=tot;
}
void dfs(int k,int fa,ll dist){
     
    d[k]=dist;
    for(int i=head[k];i;i=e[i].nex){
        if(e[i].v==fa)continue;
        dfs(e[i].v,k,dist+e[i].w);
        size[k]+=size[e[i].v];
    }
    size[k]+=flag[k];
}
void dp(int k,int fa){
    ll sum=0;
    for(int i=head[k];i;i=e[i].nex){
        if(e[i].v==fa)continue;
        dp(e[i].v,k);
        sum+=size[e[i].v];
    }
    ll cnt=0;
    for(int i=head[k];i;i=e[i].nex){
        if(e[i].v==fa)continue;
        cnt=cnt+size[e[i].v]*(sum-size[e[i].v])%mod;
        cnt=cnt%mod;
    }
    ans=(ans-2*d[k]%mod*cnt%mod)%mod;
    if(flag[k]){
        ans=(ans-4*d[k]%mod*sum%mod)%mod;
    }
}
ll work(ll a,int Num){
    ll Ans=1,p=a;
    while(Num){
        if(Num&1)Ans=Ans*p;
        p=p*p;p%=mod;Ans%=mod;Num>>=1;
    }
    return Ans;
}
int main()
{
    Te=read();n=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        t1=read();t2=read();t3=read();
        lj(t1,t2,t3);lj(t2,t1,t3);
    }
    num=read();
    for(int i=1;i<=num;i++){
        s[i]=read();flag[s[i]]++;
    }   
    dfs(1,0,(ll)0);
    ny2=work(2,mod-2);
    for(int i=1;i<=num;i++)Sum+=d[s[i]];
    for(int i=1;i<=num;i++){
        ans=(ans+d[s[i]]*(num-1))%mod+(Sum-d[s[i]])%mod;
        ans=ans%mod;
    }
    dp(1,0);ans%=mod;
    ans=ans*work(num,mod-2);
    ans=(ans%mod+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}