同餘問題（一）——擴展歐幾里得exgcd

前言

擴展歐幾里得算法是一個很好的解決同餘問題的算法，非常實用。

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歐幾里得算法

簡介

歐幾里得算法，又稱輾轉相除法。

主要用途

求最大公因數$gcd$。

公式

$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

公式證明

$a$可以表示成$a=kb+a\%b$（$k$爲自然數）。

假設$g$是$a,b$的一個公約數，則有$g|a, g|b$。

$\because a\%b=a-kb$，

$\therefore g|(a\%b),\therefore g$是$b,a\%b$的公約數。

綜上所述，$a,b$和$b,a\%b$的公約數是一樣的，其$gcd$也必然相等。

代碼實現

inline int gcd(int x,int y) {return y?gcd(y,x%y):x;}

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擴展歐幾里得算法

簡介

擴展歐幾里得建立於歐幾里得算法的基礎上。（該算法的升級版 徐xgcd有待XuRuiYang奆佬發明）

主要用途

對於已知a,b求解x,y使其滿足ax+by=gcd(a,b)。

解法

我們可以對$(a,b)$不斷輾轉相除。

根據歐幾里得算法，最後剩下的兩個數一定爲$(gcd(a,b),0)$，

顯然，此時$x=1,y=0$是原式的一組解。

現在，我們需要考慮，若已知$(b,a\%b)$的解，如何推出$(a,b)$的解。

設$x_0,y_0$爲$(b,a\%b)$的一組解，則$x_0·b+y_0(a\%b)=gcd(b,a\%b)$。

將這個式子轉化一下，可以得到$x_0·b+y_0(a-\lfloor\frac ab\rfloor*b)=gcd(a,b)$。

去括號，得$x_0·b+y_0·a-(y_0·\lfloor\frac ab\rfloor)·b=gcd(a,b)$。

合併同類項，得$y_0·a+(x_0-y_0·\lfloor\frac ab\rfloor)·b=gcd(a,b)$。

$\therefore x=y_0,y=x_0-y_0·\lfloor\frac ab\rfloor$是原式的一組解。

遞歸即可。

代碼實現

inline int exgcd(int x,int y,int &s1,int &s2)
{
	if(!y) return s1=1,s2=0,x;
	register int res=exgcd(y,x%y,s2,s1);
	return s2-=x/y*s1,res; 
}

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擴歐的典型應用：求乘法逆元

$Link$

乘法逆元 詳見博客 淺談乘法逆元的三種解法