【BZOJ3093】A Famous Game-概率論+組合數學

測試地址：A Famous Game
題目大意： 一個袋子裏有$n$個球，球的顏色只有紅和藍，紅色球的數目爲$0$ ~ $n$的概率都是相等的。現在已經從裏面取出了$p$個球，其中$q$個是紅色，求下一個取出的球是紅色的概率。
做法： 本題需要用到概率論+組合數學。
通過這道題，我終於意識到概率論這個東西真的不可能靠直覺算對…想出來這種東西的貝葉斯真是個神人…
本題需要用到的公式：
$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
條件概率公式，意爲：在已經發生$B$的條件下，發生$A$的概率，等於$A,B$同時發生的概率，除以$B$發生的概率。至於原因，寫成這樣應該更好理解：
$P(AB)=P(B)P(A|B)$
還有全概率公式：$P(A)=\sum_{k}P(N_k)P(A|N_k)$，其中$N_k$是互斥（即不可能同時發生）的事件，且它們發生的概率之和爲$1$。
於是令$A$爲下一個取出的球是紅球這個事件，$B$爲已取出的$p$個球中有$q$個是紅球這個事件，$N_k$爲一開始的袋子裏有$k$個紅球這個事件，則要求的就是$P(A|B)$，那麼：
$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
$=\frac{\sum_{k=0}^nP(AB|N_k)P(N_k)}{\sum_{k=0}^nP(B|N_k)P(N_k)}$
$=\frac{\sum_{k=0}^nP(A|BN_k)P(B|N_k)P(N_k)}{\sum_{k=0}^nP(B|N_k)P(N_k)}$
於是有：
$P(A|BN_k)=\frac{k-q}{n-p}$
$P(B|N_k)=\frac{C_k^qC_{n-k}^{p-q}}{C_n^q}$
$P(N_k)=\frac{1}{n+1}$
代入上面的式子中，約掉所有能直接約掉的東西得到：
$P(A|B)=\frac{\sum_{k=0}^nC_k^qC_{n-k}^{p-q}(k-q)}{\sum_{k=0}^nC_k^qC_{n-k}^{p-q}(n-p)}$
$=\frac{\sum_{k=0}^nC_k^{q+1}C_{n-k}^{p-q}(q+1)}{\sum_{k=0}^nC_k^qC_{n-k}^{p-q}(n-p)}$
$=\frac{q+1}{n-p}\cdot \frac{\sum_{k=0}^nC_k^{q+1}C_{n-k}^{p-q}}{\sum_{k=0}^nC_k^qC_{n-k}^{p-q}}$
現在需要用到一個結論：
$\sum_{k=0}^sC_k^nC_{s-k}^m=C_{s+1}^{n+m+1}$
可以看做是，在$s+1$中選擇$n+m+1$個數，$k$就可以看做是在枚舉第$n+1$個數是哪一個。於是：
$P(A|B)=\frac{q+1}{n-p}\cdot \frac{C_n^{p+2}}{C_n^{p+1}}$
$=\frac{q+1}{n-p}\cdot \frac{n-p}{p+2}$
$=\frac{q+1}{p+2}$
於是答案就出來了，一行代碼解決。
以下是本人代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double n,p,q;

int main()
{
	int t=0;
	while(scanf("%lf%lf%lf",&n,&p,&q)!=EOF)
	{
		++t;
		printf("Case %d: %.4lf\n",t,(q+1.0)/(p+2.0));
	}
	
	return 0;
}