【BZOJ1124】Mafia（POI2008）-環套樹DP

測試地址：Mafia
做法： 本題需要用到環套樹DP。
按照題目構圖，很顯然是我們很熟悉的環套樹森林。接下來我們進行分析，最後活下來一些什麼人是合法的呢？觀察發現，一個人的目標如果是自己那就必死，而沒有被作爲目標的人一定存活，還有一個特別重要的性質：一個人$i$和他的目標$a_i$到最後不可能都存活。在滿足這些條件的情況下，我們一定可以構造出一個順序使得最後存活特定的人。於是問題就非常好分析了。
首先來看怎麼樣死亡最多，也就是存活最少。由於上面我們知道，沒有被作爲目標的人一定存活，那麼其他的人是一定都會死嗎？不一定，因爲我們再次發現，一個連通塊內至少會有一個人存活。因此我們對所有沒被作爲目標的人打個標記，在進行連通塊的搜索的時候，如果當前連通塊內不存在這樣的人（事實上，這種情況只有可能是一個環），那麼就會多出一個人存活。當然，如果這個環內只有一個人，那麼因爲這個人目標是自己，所以他必死，特判一下即可。這樣我們就能$O(n)$計算出這個答案了。
然後我們來看怎麼樣死亡最少，也就是存活最多。注意到上面“一個人和他的目標不能都存活”這個性質，在圖中就表現爲，一條邊的兩個端點不可能都存活，於是我們要找的就是在這種狀態下，最多能選出多少個人存活，這顯然就是一個環套樹上的最大獨立集問題，只不過還要規定所有葉子節點都必須被選，用邊界條件稍微修改的環套樹DP就能$O(n)$解決。當然，還要特判環套樹中的環中只有一個人的情況，這樣的話這個人是必死的。把每個連通塊的答案加起來，就是最多的存活人數了，最少的死亡人數也隨之得出了。
於是經過上面的討論，我們解決了這個問題。
以下是本人代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1000010],in[1000010],q[1000010],h,t,ans1,ans2;
int f[1000010][2]={0},looplen,loop[1000010];
int loopf[2][2];
bool totflag,flag[1000010]={0},vis[1000010]={0};

void find_loop(int i)
{
	looplen=1;
	totflag=flag[i];
	loop[1]=i;
	vis[i]=1;
	f[i][1]++;
	while(a[loop[looplen]]!=loop[1])
	{
		++looplen;
		loop[looplen]=a[loop[looplen-1]];
		totflag|=flag[loop[looplen]];
		vis[loop[looplen]]=1;
		f[loop[looplen]][1]++;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		in[a[i]]++;
	}
	
	h=1,t=0;
	ans2=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (!in[i])
		{
			q[++t]=i;
			ans2--;
		}
	while(h<=t)
	{
		int v=q[h++];
		in[a[v]]--;
		f[v][1]++;
		f[a[v]][0]+=max(f[v][0],f[v][1]);
		f[a[v]][1]+=f[v][0];
		if (!in[a[v]]) q[++t]=a[v];
		flag[a[v]]=1;
	}
	
	ans1=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (in[i]&&!vis[i])
		{
			find_loop(i);
			if (!totflag&&looplen>1) ans2--;
			if (looplen==1) {ans1-=f[i][0];continue;}
			if (looplen==2)
			{
				int x=i,y=a[i],mx=0;
				mx=max(mx,f[x][0]+f[y][0]);
				mx=max(mx,f[x][0]+f[y][1]);
				mx=max(mx,f[x][1]+f[y][0]);
				ans1-=mx;
				continue;
			}
			if (looplen==3)
			{
				int x=i,y=a[i],z=a[a[i]],mx=0;
				mx=max(mx,f[x][0]+f[y][0]+f[z][0]);
				mx=max(mx,f[x][0]+f[y][0]+f[z][1]);
				mx=max(mx,f[x][0]+f[y][1]+f[z][0]);
				mx=max(mx,f[x][1]+f[y][0]+f[z][0]);
				ans1-=mx;
				continue;
			}
			int mx=0,now=1,past=0;
			loopf[past][0]=loopf[past][1]=0;
			for(int j=2;j<=looplen;j++)
			{
				loopf[now][0]=max(loopf[past][0],loopf[past][1])+f[loop[j]][0];
				loopf[now][1]=loopf[past][0]+f[loop[j]][1];
				swap(now,past);
			}
			mx=max(mx,max(loopf[past][0],loopf[past][1])+f[loop[1]][0]);
			loopf[past][0]=loopf[past][1]=0;
			for(int j=3;j<=looplen-1;j++)
			{
				loopf[now][0]=max(loopf[past][0],loopf[past][1])+f[loop[j]][0];
				loopf[now][1]=loopf[past][0]+f[loop[j]][1];
				swap(now,past);
			}
			mx=max(mx,max(loopf[past][0],loopf[past][1])+f[loop[1]][1]+f[loop[2]][0]+f[loop[looplen]][0]);
			ans1-=mx;
		}
	
	printf("%d %d",ans1,ans2);
	
	return 0;
}