約數這個還是數論比較熱門的考點（這邊是提高組，省選大佬出門右轉）。
首先約數是什麼？
聽起來好高大上，其實就是因子，而對於約數要掌握的就是約數和以及約數個數，我們先看一下籠統的計算公式。
對於一個數我們可以質因數分解，所以對於每個數n，我們可以分解成p1 ^ c1+p2 ^ c2+……+px ^ cx，這種形式，而約數個數也就是（c1+1） * （c2+1） * …… （cx+1），而約數和就是（1+p1+p1^ 2 +p1^ 3+p1^ 4……+p1^ c1） (1+1+p2+p2^ 2+p2^ 3+p2^ 4…… +p2^ c2)……(1+pn+pn^ 2+pn^ 3……pn^ cn)，因爲這個證明比較麻煩，而且我們這個也不常用，主要是在推導公式時要知道。而根據這個公式我們可以得出一個約數和以及約數個數的算法，先把n質因數分解，再帶公式，可是這個太麻煩了，瑣碎，步驟很多，所以我們在此介紹一種線性篩選的方法，可以在差不多的時間和空間內方便的計算出來，而且一計算就是一串，很方便。
約數個數：
對於線性篩選，我們其實就是在篩選質數的時候順便求出約數個數，我們知道線性篩選就是篩出質數然後再枚舉最小質因子去進行篩選。我們先定義兩個數組t，和e，t[i]表示i這個數約數個數，e[i]表示i這個質因數分解後最小質因子的次方，即c1。爲什麼要這個e數組呢？後面你就知道了。
我們對x進行分類討論，如果x是質數的話，那麼t[x]=2,e[x]=1。這個就是質數的因子只有自己和1嘛，e[x]=1是因爲1不是質數，所以i的最小質因子是自己，這個當然就是1了。
然後我們就到了篩質數的環節了，在這裏我們會處理x不是質數的情況，對於x我們可以在篩時這麼寫i*prime[j]（這個是篩質數的操作，prime數組是存質數的），所以我們還要對i和prime[j]進行分類討論。
對於i是prime[j]的倍數，那麼t[x]=t[i]/（e[i]+1） * （e[i]+2），爲什麼是這個？我們先看e數組把，因爲和e數組有關，因爲i是prime[j]（我們是枚舉最小質因子去篩的）的倍數所以x的最小質因子指數會多1，所以e[x]=e[i]+1，所以我們根據之前給的約數個數公式可以知道其實就是除以（e[i]+1），乘以（e[i]+2），這就是上面公式的由來。
對於i不是prime[j]的倍數，那麼e[x]=1，因爲prime[j]是我們枚舉的最小質因子，所以這個只有一個。因爲約數個數這個函數是積性函數，所以t[x]=t[i] * t[prime[j]]，因爲t[prime[j]]的值一定是2，因爲prime[j]是質數，所以我們可以簡化寫成t[x]=t[i] * 2。
這樣我們就討論完了。
代碼：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long prime[3000100],t[3000100],e[3000100];
int vist[3000100];
int main()
{
int n,num=0;
scanf("%d",&n);
t[1]=1;//初值，1的約數個數是1
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(vist[i]==0)//質數的話
{
prime[++num]=i;
t[i]=2;
e[i]=1;
}
for(int j=1;j<=num;j++)//用最小質因子去篩
{
if(i*prime[j]>n)//超過了n就不用了
break;
vist[i*prime[j]]=1;//打下標記是合數
if(i%prime[j]==0)//分類討論
{
t[i*prime[j]]=t[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2);//根據我們的公式計算
e[i*prime[j]]=e[i]+1;
break;
}
else //不是倍數的時候
{
t[i*prime[j]]=t[i]*2;
e[i*prime[j]]=1;
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%lld\n",t[i]);//輸出答案
return 0;
}
約數和：
既然有約數個數，那麼跟定有約數和，現在我們就來講一下怎麼計算約數和。
根據上面約數個數的思想，我們也用分類討論來計算約數和。
同樣我們要定義兩個數組，一個是t，t[i]表示i的約數和，同樣我們也要一個輔助的數組e，e[i]表示不能被最小質因子整除的約數的和。
首先如果x是質數的話，約數只有自己和1，那麼t[x]=x+1，而不能被最小質因子整除的數也只有1，所以e[x]=1。
然後我們再用i*prime[j]去表示非質數的x，同樣，也分i可以整除prime[j]和不能整除。
不可以整除的話，意味着t[i]和t[prime[j]]這兩個是沒有重複部分的，因爲他們這兩個數是互質的，證明一下吧，因爲prime[j]是個質數，所以如果不是互質的話只有一種可能，就是i是prime[j]的倍數（這就是我們要這麼分類討論的原因，上面的分類討論也是因爲這個）。所以t[x]=t[i]*prime[j]+t[i]，化簡一下就是t[x]=t[i] * （prime[j]+1）。而e因爲不是倍數所以e[x]=t[i]
如果i是prime[j]的倍數的話因爲他們中有重複的，重複的部分就是可以被最小質因子整除的約數和，也就是t[i]-e[i]，那麼我們爲什麼不用e數組直接存這個呢？因爲不方便計算啊。所以我們就是t[x]=t[i] * prime[j]+t[i]-（t[i]-e[i]），化簡一下就是t[x]=t[i]*prime[j]+e[i]，而e因爲是倍數所以我們要繼承一下e[x]=e[i]，這樣就計算完了。
代碼：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long vist[3000100],prime[3000100],t[3000100],e[3000100];
int main()
{
int n,num=0;
scanf("%d",&n);
t[1]=1;//邊界
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(vist[i]==0)//質數的情況
{
prime[++num]=i;
t[i]=i+1;
e[i]=1;
}
for(int j=1;j<=num;j++)
{
if(i*prime[j]>n)
break;
vist[i*prime[j]]=1;//打個標記
if(i%prime[j]==0)//如果是倍數
{
t[i*prime[j]]=t[i]*prime[j]+e[i];
e[i*prime[j]]=e[i];
break;
}
else//不是倍數
{
t[i*prime[j]]=t[i]*(prime[j]+1);
e[i*prime[j]]=t[i];
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%lld\n",t[i]);//輸出
return 0;
}
以上就是約數的內容，希望大家看後可以對約數有個理解，如果有不懂得歡迎留言。