對於逆元其實說難不難，說簡單也不簡單。
概念：
對於a * x≡b（mod m）這個方程如果我們要求解的話其實是比較複雜的，可是如果我們可以求出a * y≡1（mod m）中的y的話，在上面那個方程上同乘以y就可以得到，x=b * y，是不是很神奇，我們也稱y是a在mod m的條件下的逆元，寫作x ^ -1。
注意：
如果m是p的倍數，那麼m在mod p的意義下是沒有逆元的！！！
求法：
對於我們的逆元求法有四種，這四種各有千秋，我們要根據題目來決定採用哪種方法。
拓展歐幾里得：
不知道拓展歐幾里得的點這
對於求解這個方程： a * y≡1（mod m），我們其實可以這麼寫a * y+k * m=1，（這個k爲任意整數），這個其實就是我們的拓展歐幾里得，當然前提是gcd（a，m）=1
代碼：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int x,y;
void exgcd(int a,int b)
{
int k;
if(b==0)//邊界
{
x=1;
y=0;
return ;
}
exgcd(b,a%b);
k=x;//因爲x和y都會改變，所以我們開個變量儲存
x=y;//直接代入我們的公式
y=k-a/b*y;
}
int main()
{
int a,b;
scanf("%d %d",&a,&b);//我們要求a*y≡1(mod b)
exgcd(a,b);//要求a*x+b*y=gcd(a,b)
printf("%d",(x+b)%b);//因爲求出來的可能是負數所以我們轉化成正數
return 0;
}
快速冪：
這個其實是用費馬小定理來求的。
如果p是素數（也叫質數），對於任意的x ^ p≡x（mod p），這個定理就是費馬小定理，當且僅當x無法被p整除可以得到，x ^ (p-1)≡1（mod p）（因爲如果x可以被p整除的話x mod p一定爲0，而不可能爲1），然而我們再同除以一個x，可以得到x^-1≡x ^ （p-2）（mod p），所以我們只要求出x的p-2次方mod p就可以了，這就是快速冪。
代碼：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long pow(long long a,long long b,long long mod)
{
long long ans=1;
while(b)
{
if(b%2==1)//如果b是奇數
ans=(ans*a)%mod;//因爲b最後一定會變爲1，所以我們只要在這邊計算ans就好了
a=(a*a)%mod;//a嘗龜乘
b=b/2;
}
return ans;
}
int main()
{
long long x,p,ans;
scanf("%lld %lld",&x,&p);//求x在mod p意義下的方程
ans=pow(x,p-2,p);
printf("%lld",ans);
return 0;
}
線性遞推：
這個的時間複雜度是O（n）的，如果單單求一個逆元的話是比上面的都慢的，可如果要求多個的話這個就顯現出來的優勢。
我們線性遞推其實就是找出逆元與逆元之間的關係，通過已知的逆元求出未知的逆元。
推導：
首先我們設p=k * i+r，然後可以知道k * i+r≡0（mod p）（因爲k * i+r本身等於p，所以p mod p爲0），然後我們兩邊同乘r^-1 * i ^ -1，就得到k * r ^ -1 +i ^ -1 ≡0（mod p），移項得到i ^ -1≡-k * r ^ -1（mod p），我們可以知道k其實就是p/i下取整，也就是⌊ p/i ⌋，r其實就是p%i，（這個好好想想是重點），所以我們得到公式：i ^ -1≡-⌊ p/i ⌋ * （p%i） ^ -1（mod p）
代碼：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long inv[3000100];
int main()
{
long long n,p;
inv[1]=1;//邊界，因爲1的逆元一定是1
scanf("%lld %lld",&n,&p);//求1到n中所有在mod p的情況下的逆元
for(int i=2;i<=n;i++)
inv[i]=(-(p/i)*inv[p%i]%p+p)%p;//根據公式遞推，加p的原因是把負數轉化成正數
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%lld\n",inv[i]);//輸出答案
return 0;
}
線性遞推求階乘逆元：
爲什麼要有這個，因爲組合數也可以用階乘逆元求，所以我們也介紹一下。
推導：
我們定義inv[i]表示i！的逆元，
我們可以知道inv[i+1]=（1/（i+1）！） ^ -1，（因爲csdn比較難渲染數學公式，所以如果不方便看的話可以自己在紙上寫），我們同乘i+1就變成了，inv[i+1]*（i+1）=（1/i!） ^ -1=inv[i]，所以我們可以得到：inv[i+1] * （i+1）=inv[i]，所以我們先求出n！的逆元，再倒推回來。n！的逆元怎麼求？用費馬小定理或者拓展歐幾里得。
代碼：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long inv[3000100];
long long pow(long long a,long long b,long long mod)
{
long long ans=1;
while(b)
{
if(b%2==1)//如果b是奇數
ans=(ans*a)%mod;//因爲b最後一定會變爲1，所以我們只要在這邊計算ans就好了
a=(a*a)%mod;//a嘗龜乘
b=b/2;
}
return ans;
}
int main()
{
long long n,p;//求1到n在mod p意義下所有階乘的逆元
inv[1]=inv[0]=1;
scanf("%lld %lld",&n,&p);
for(int i=1;i<=n;i++)//我們先求一遍階乘
inv[i]=（inv[i-1]*i）%p;
inv[n]=pow(inv[n],p-2,p);//用費馬小定理求逆元
for(int i=n-1;i>=1;i--)//倒推
inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%lld\n",inv[i]);
return 0;
}
上面的是費馬小定理的。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long inv[3000100],x,y;
void gcd(long long a,long long b)
{
if(b==0)//邊界
{
x=1;
y=0;
return ;
}
gcd(b,a%b);
long long k=x;//因爲x和y都會改變，所以我們開個變量儲存
x=y;
y=k-a/b*y;//直接代入我們的公式
return ;
}
int main()
{
long long n,p;//求1到n在mod p意義下所有階乘的逆元
inv[1]=inv[0]=1;
scanf("%lld %lld",&n,&p);
for(int i=1;i<=n;i++)//我們先求一遍階乘
inv[i]=（inv[i-1]*i）%p;
gcd(inv[n],p);
inv[n]=(x+p)%p;//用費拓展歐幾里得求逆元
for(int i=n-1;i>=1;i--)//倒推
inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%lld\n",inv[i]);
return 0;
}
上面是拓展歐幾里得的。
以上就是逆元的所有知識了，希望大家看後可以有個理解。如果有不懂得歡迎留言。