今天學習了一種很有趣的BitCount算法——MIT HAKMEM算法。
本文中^表示乘方
問題需求：計算32位整型數中的'1'的個數
思路分析：
1.整型數 i 的數值，實際上就是各位乘以權重——也就是一個以2爲底的多項式：
i = A0*2^0+A1*2^1+A2*2^2+...
因此，要求1的位數，實際上只要將各位消權：
i = A0+A1+A2+...
所得的係數和就是'1'的個數。
2.對任何自然數n的N次冪，用n-1取模得數爲1，證明如下：
若 n^(k-1) % (n-1) = 1 成立
則 n^k % (n-1) = ((n-1)*n^(k-1) + n^(k-1)) % (n-1) = 0 + n^(k-1) % (n-1) = 1 也成立
又有 n^(1-1) % (n-1) = 1
故對任意非負整數N, n^N %(n-1)=1
3.因此，對一個係數爲{Ai}的以n爲底的多項式P(N)， P(N)%(n-1) = (sum({Ai})) % (n-1) ;
如果能保證sum({Ai}) < (n-1)，則 P(N)%(n-1) = (sum({Ai})) ，也就是說，此時只要用n-1對多項式取模，就可以完成消權，得到係數和。
於是，問題轉化爲，將以2爲底的多項式轉化爲以n爲底的多項式，其中n要足夠大，使得n-1 > sum({Ai})恆成立。
32位整型數中Ai=0或1，sum({Ai})<=32。n-1 > 32 ，n需要大於33。
因此取n=2^6=64>33作爲新多項式的底。
4.將32位二進制數的每6位作爲一個單位，看作以64爲底的多項式:
i = t0*64^0 + t1*64^1 + t2*64^2 + t3*64^3 + ...
各項的係數ti就是每6位2進制數的值。
這樣，只要通過運算，將各個單位中的6位數變爲這6位中含有的'1'的個數，再用63取模，就可以得到所求的總的'1'的個數。
5.取其中任意一項的6位數ti進行考慮，最簡單的方法顯然是對每次對1位進行mask然後相加，即
(ti>>5)&(000001) + (ti&>>4)(000001) + (ti>>3)&(000001) + (ti>>2)&(000001) + (ti>>1)&(000001) + ti&(000001)
其中000001位2進制數
由於ti最多含有6個1，因此上式最大值爲000110，絕不會產生溢出，所以上式中的操作完全可以直接對整型數 i 進行套用，操作過程中，t0～t6將並行地完成上式的運算。
注意：不能將&運算提取出來先+後&，想想爲什麼。
因此，bit count的實現代碼如下：
[cpp] view plain copy
int bitcount(unsigned int n)
{
unsigned int tmp;
tmp = (n &010101010101)
+((n>>1)&010101010101)
+((n>>2)&010101010101)
+((n>>3)&010101010101)
+((n>>4)&010101010101)
+((n>>5)&010101010101);
return (tmp%63);
}
但MIT HAKMEM最終的算法要比上面的代碼更加簡單一些。
爲什麼說上面的式子中不能先把(ti>>k)都先提取出來相加，然後再進行&運算呢？
因爲用&(000001)進行MASK後，產生的有效位只有1位，只要6位數中的'1'個數超過1位，那麼在"先加"的過程中，得數就會從最低位中向上溢出。
但是我們注意到，6位數中最多隻有6個'1'，也就是000110，只需要3位有效位。上面的式子實際上是以1位爲單位提取出'1'的個數再相加求和求出6位中'1'的總個數的，所以用的是&(000001)。如果以3位爲單位算出'1'的個數再進行相加的話，那麼就完全可以先加後MASK。算法如下：
tmp = (ti>>2)&(001001) + (ti>>1)&(001001) + ti&(001001)
(tmp + tmp>>3)&(000111)
C代碼：
[cpp] view plain copy
int bitcount(unsigned int n)
{
unsigned int tmp;
tmp = (n &011111111111)
+((n>>1)&011111111111)
+((n>>2)&011111111111);
tmp = (tmp + (tmp>>3)) &030707070707;
return (tmp%63);
}
注：代碼中是使用8進制數進行MASK的，11位8進制數爲33位2進制數，多出一位，因此第一位八進制數會把最高位捨去(7->3)以免超出int長度。
從第一個版本到第二個實際上是一個“提取公因式”的過程。用1組+, >>, &運算代替了3組。並且已經提取了"最大公因式"。然而這仍然不是最終的MIT HAKMEM算法，不過已經非常接近了，看看代碼吧。
MIT HAKMEM算法：
[cpp] view plain copy
int bitcount(unsigned int n)
{
unsigned int tmp;
tmp = n
- ((n >> 1) & 033333333333)
- ((n >> 2) & 011111111111);
tmp = (tmp + (tmp >> 3)) & 030707070707
return (tmp%63);
}
又減少了一組+, >>, &運算。被優化的是3位2進制數“組”內的計算。再回到多項式，一個3位2進制數是4a+2b+c，我們想要求的是a
+b+c，n>>1的結果是2a+b，n>>2的結果是a。
於是： (4a+2b+c) - (2a+b) - (a) = a + b + c
中間的MASK是爲了屏蔽"組間""串擾"，即屏蔽掉從左邊組的低位移動過來的數。
總結
第一次自己寫算法分析，感覺收穫還是蠻大的。
看算法的時候都是看這個算法是如何工作的，寫的過程則是去模擬發現者的思路，看這個算法是如何被推導出來的，把思路反過來又重新梳理了一遍。
最大的感慨是數學對於算法的重要性。這個算法最開始的思路就是多項式消權，並且貫穿了整個算法推導和優化的過程。而第二步的必要條件則是對取模和冪運算關係的瞭解。優化的第一步用到了“提取公因式”思想，第二步則迴歸到了多項式的基本運算。
其中除了取模和冪運算的知識不算太基礎以外，其他無一例外都是初中以內的數學知識與思想。特別是對2進制數本質的理解，所有人都清楚如何求得一個二進制整型數的數值，但是卻很少有人對其多項式本質始終保持着清晰的認識。
就是這些小得不能再小，基礎得不能再基礎的地方，決定了我們的水平。
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作者：msquare
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/msquare/article/details/4536388
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