Description:
有個點,種顏色,現在有個條件,形如第個點不能與第個點同色。求染色方案數。對1e9+7取模
Solution:
- 比較常規的題目。
- 在個條件下,圖中只包含樹和基環樹組合成的森林。
- 分類討論。
- 對於單純的樹,顯然除了根有種顏色選擇,接下來的兒子都被它的父親影響,其它點都是種顏色選擇。
- 對於基環樹,常規的抽出環,染色問題嘛,那麼就破環爲鏈。
- 考慮表示前個點相鄰不同,最後一個點與第1個點相同/不相同的方案數。
- 轉移就有
- 環上的每個點的子樹與上述單純的樹同理。
Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(i,f,t) for(int i=(f),i##_end_=(t);i<=i##_end_;++i)
#define SREP(i,f,t) for(int i=(f),i##_end_=(t);i<i##_end_;++i)
#define DREP(i,f,t) for(int i=(f),i##_end_=(t);i>=i##_end_;--i)
#define ll long long
template<class T>inline bool chkmin(T&x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
template<class T>inline bool chkmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
template<class T>inline void rd(T&x){
x=0;char c;
while((c=getchar())<48);
do x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
while((c=getchar())>47);
}
const int N=1e6+2,mod=1e9+7;
int n,K;
int qwq,head[N];
struct edge{
int to,nxt;
}E[N<<1];
void addedge(int x,int y){E[qwq]=(edge){y,head[x]};head[x]=qwq++;}
#define EREP(x) for(int i=head[x];~i;i=E[i].nxt)
struct p30{
int col[502];
int ans;
bool flag;
void dfs(int x){
if(x==n+1){
++ans;
return;
}
REP(j,1,K){
flag=1;
EREP(x) if(j==col[E[i].to]) {flag=0;break;}
if(!flag)continue;
col[x]=j;
dfs(x+1);
col[x]=0;
}
}
void solve(){
dfs(1);
printf("%d\n",ans);
}
}p1;
int cnt;
bool mark[N];
ll Pow(ll a,ll b){
ll x=1;
while(b){
if(b&1)x=x*a%mod;
a=a*a%mod,b>>=1;
}
return x;
}
struct p100{
int dfn[N],low[N],tim;
int stk[N],top;
int sz[N],tot;
bool vis[N];
int num;
void tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++tim;
stk[++top]=x;
vis[x]=1;
EREP(x){
int y=E[i].to;
if(!dfn[y]){
tarjan(y);
chkmin(low[x],low[y]);
}
else if(vis[y]) chkmin(low[x],dfn[y]);
}
if(dfn[x]==low[x]){
if(stk[top]!=x){
tot++;
do{
num++;
sz[tot]++;
vis[stk[top]]=0;
}while(x!=stk[top--]);
}
else top--;
}
}
ll dp[N][2];
void Init(){
dp[1][1]=1;
SREP(i,2,N){
dp[i][0]=(dp[i-1][0]*(K-2)%mod+dp[i-1][1]*(K-1)%mod)%mod;
dp[i][1]=dp[i-1][0];
}
}
void solve(){
REP(i,1,n) if(!mark[i] and !dfn[i]) tarjan(i);
Init();
ll ans=1;
ans=Pow(K,cnt)*Pow(K-1,n-cnt-num)%mod;
REP(i,1,tot) ans=ans*dp[sz[i]][0]%mod*K%mod;
printf("%lld\n",ans);
}
}p2;
int main(){
// freopen("draw.in","r",stdin);
// freopen("draw.out","w",stdout);
rd(n),rd(K);
memset(head,-1,sizeof head);
REP(i,1,n){
int f;rd(f);
if(i!=f) addedge(i,f);
else mark[i]=1,cnt++;
}
// if(n<=15 and K<=3)p1.solve();
// else
p2.solve();
return 0;
}
Summary:
- 對於染色問題,是最好的解決方式。
- 可以進行畫圖,計算公式來推導轉移。