DoG算子和LoG算子

DoG(Difference of Gaussian)算子和LoG(Laplacian of Gaussian)算子是常用的極值點檢測(Blob Detection)兩種方法，高斯卷積是爲了進行尺度變換，那麼LapLacian呢。 因此這裏首先引入LapLacian算子。

圖像邊緣檢測

因此進行邊緣檢測有兩種方法。

1. 一階導數的極值

梯度算子定義爲：$G ( x , y ) = \sqrt {\nabla_ { x } f ( x , y ) ^ { 2 } + \nabla_ { y } f \left( x , y ^ { 2 } \right) }$

爲了簡化計算，一般梯度算子可以寫爲:
$G ( x , y ) = \left|\nabla _ { x } f ( x , y ) \right| + \left| \nabla _ {y } f ( x , y ) \right|$

於是得到的一階算子有檢測對角線邊緣的羅伯特算子:
$R ( x , y ) = \max \{ | f ( x , y ) - f ( x + 1 , y + 1 ) | , | f ( i + 1 , j ) - f ( i - 1 , j + 1 ) | \}$

對應卷積模板爲:
$\left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { -1 } & { 0} \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array} { c c } { 1} & { 0 } \\ { 0 } & { -1} \end{array} \right]$

加了高斯平滑的邊緣檢測算子
$S ( x , y ) = | f ( x + 1 , y - 1 ) + 2 * f ( x + 1 , y ) + f ( x + 1 , y + 1 ) - f ( x - 1 , y - 1 ) - 2 * f ( x - 1 , y ) - f ( x - 1 , y + 1 ) |+ | f ( x + 1 , y + 1 ) + 2 \cdot f ( x , y + 1 ) + f ( x - 1 , y + 1 ) - f ( x + 1 , y - 1 ) - 2 \cdot f ( x , y - 1 ) - f ( x - 1 , y - 1 ) |$

對應的卷積模板爲
$\left[ \begin{array} { c c c} { 1} & { 0 } & { -1 }\\ { 2 } & { 0}& { -2 } \\ { 1} & { 0}& { -1}\end{array} \right]$
$\left[ \begin{array} { c c c} { 1} & { 2 } & { 1 }\\ { 0 } & { 0}& { 0 } \\ { -1} & {-2}& { -1}\end{array} \right]$

2. 二階導數的過零點

二階導數算子實際就是Laplace算子，定義爲兩個方向一階導數的內積，符號表示$\Delta$
$\Delta = \nabla ^ { 2 } = \left[ \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \right] \left[ \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \right] ^ { T } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } }$

使用二階差分代替二階函數，則
$\begin{aligned} \Delta f ( x , y ) & = \Delta _ { x } f ( x , y ) +\Delta _ { y } f ( x , y ) \\ & = f ( x + 1 , y ) - f ( x , y ) - f ( x , y ) + f ( x - 1 , y ) \\ & + f ( x , y + 1 ) - f ( x , y ) - f ( x , y ) + f ( x , y - 1 ) \\ & = f ( x - 1 , y - 1 ) + f ( x - 1 , y + 1 ) + f ( x + 1 , y - 1 ) + f ( x + 1 , y + 1 ) - 4 f ( x , y ) \end{aligned}$
那麼卷積模板爲：
$\left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 4 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right]$

如果考慮四個方向：
$\Delta f ( x , y ) =\Delta _ { x } f ( x , y ) +\Delta_ { y } f ( x , y ) +\Delta _ { z y } f ( x , y ) + \Delta _ { y x } f ( x , y )$
那麼卷積模板爲
$\left[ \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 8 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right]$

由於Laplace算子對噪聲很敏感，所以一般利用高通濾波器進行平滑處理，所以引入了高斯拉普拉斯算子(LoG,Laplacian of Gaussian)

高斯拉普拉斯算子(LoG, Laplacian of Gaussian)

對於圖像$I(x, y)$，首先通過尺度爲$\sigma$的高斯平滑
$G _ { \sigma } ( x , y ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right)$

在使用Laplace算子檢測邊緣
$\Delta| G _ { \sigma } ( x , y ) * I ( x , y ) ] = \left[ \Delta G _ { \sigma } ( x , y ) \right] * I ( x , y )$

該式證明如下：
$\begin{aligned} \frac { d } { d t^2 } [ h ( t ) * f ( t ) ] & = \frac { d } { d t } \int f ( \tau ) h ( t - \tau ) d \tau \\ & = \int f ( \tau ) \frac { d } { d t^2 } h ( t - \tau ) d \tau = f ( t ) * \frac { d } { d t ^2} h ( t ) \end{aligned}$
所以高斯拉普拉斯算子等價於先對高斯函數求二階導，再與原圖進行卷積

將高斯拉普拉斯算子展開：
$L o G = \Delta G _ { \sigma } ( x , y ) = \frac { \partial ^ { 2 } G _ { \sigma } ( x , y ) } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } G _ { \sigma } ( x , y ) } { \partial y ^ { 2 } } = \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 \sigma ^ { 2 } } { \sigma ^ { 4 } } e ^ { - \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) / 2 \sigma ^ { 2 } }$

高斯函數差分(DoG, Difference of Gaussian of Gaussian)

DoG即對不同尺度下的高斯函數的差分，DoG算子表達如下:
$D o G = G _ { \sigma _ { 1 } } - G _ { \sigma _ { 2 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \left[ \frac { 1 } { \sigma _ { 1 } } e ^ { - \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) / 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \sigma _ { 2 } } e ^ { - \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) / 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \right]$

由於歸一化的LoG算子：
$\begin{aligned} L _ { \text { norm } } & = \sigma ^ { 2 } \left( G _ { x x } ( x , y , \sigma ) + G _ { y y } ( x , y , \sigma ) \right) \\ & = \sigma \frac { \partial G } { \partial \sigma } \end{aligned}$

而$\frac { \partial G } { \partial \sigma } \approx \frac { G ( x , y , k \sigma ) - G ( x , y , \sigma ) } { k \sigma - \sigma }$

所以: $G ( x , y , k \sigma ) - G ( x , y , \sigma ) \approx ( k - 1 ) \sigma ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } G$

即DoG算子和LoG算子具有類似的波形，僅僅是幅度不同，不影響極值點的檢測，而DoG算子的計算複雜度顯然低於LoG，因此一般使用DoG代替LoG算子

利用DoG或LoG進行邊緣和極值點檢測

邊緣檢測：圖像邊緣在LoG算子下的響應情況如下圖所示，二階微分算子在邊緣處爲一過零點(由於圖像是離散的，也可能不是零點附近)，而且過零點兩邊的最大值(正)和最小值(負)的差值較大。

極值點檢測：隨着矩形寬度的減小，響應變化如下。

通過不同尺度的高斯濾波器，可以檢測不同大小的Blob。這裏解釋一下斑點通常和關鍵點(keypoint)，興趣點(intrestpoint)以及特徵點(featurepoint)表示同一個概念，通常指與周圍有着顏色和灰度區別的區域。

https://senitco.github.io/2017/06/20/image-feature-LoG-DoG/
https://www.cnblogs.com/YiXiaoZhou/p/5891645.html