符号对象和表达式

基本符号对象和运算符

生成符号对象的规则

必须借助 sym syms symfun定义
任何包含符号对象的表达式或方程也是符号对象

符号常数的定义

sym(Num)      如果Num是一个小数，则用此方法创建
sym(‘Num’)    如果Num是一个有理分数，则用此方法创建

对于sym(Num)的说明：

如果Num是精准的浮点数，则能创建精准的符号常数
如果Num是诸如sin(0.3)的数值表达式，那么sym(Num)只能生成由表达式获得的16位精度的近似符号常数

>> a = sym(0.3)
a =
3/10
>> b = sym(sin(0.3))
b =
5323618770401843/18014398509481984
>> whos
  Name      Size            Bytes  Class    Attributes

  a         1x1               112  sym                
  b         1x1               112  sym

对sym(‘Num’)的说明

如果Num是普通小数，如0.31,3.21e-1，那么只能产生近似符号常数

基本符号变量

创建单个符号变量

syms para     
syms para Flag     Flag是给para划定范围用的，比如当Flag为real时，表示限定para为实域

创建多个符号变量

syms para1 para2 ...
syms para1 para2 para3 ... Flag   注意中间是空格,Flag的作用同上

>> syms a
>> syms b c 'real'
>> whos
  Name      Size            Bytes  Class    Attributes

  a         1x1               112  sym                
  b         1x1               112  sym                
  c         1x1               112  sym                

>> assumptions   %assumptions是用来查看符号变量做了什么限定性条件，这里b,c都为实域上的数
ans =
[ b in R_, c in R_]

符号表达式和符号函数

符号表达式：由基本符号对象构成的衍生符号对象，可借助“=“赋义给某符号变量。
不建议使用sym('a*x^2+b*x+c')生成串型符号表达式。

符号函数：syms f(x,y) 定义了一个以x,y为变量的函数f

>> syms a b c x y;
>> y=a*x^2+b*x+c   %将符号表达式赋给y
y =
a*x^2 + b*x + c
>> syms f(x,y)        %定义一个符号函数f(x,y)
>> whos
  Name      Size            Bytes  Class     Attributes

  a         1x1               112  sym                 
  b         1x1               112  sym                 
  c         1x1               112  sym                 
  f         1x1               112  symfun              
  x         1x1               112  sym                 
  y         1x1               112  sym

自由符号变量

MATLAB中有一个命令可以列出表达式中的基本符号变量

symvar(expression) 列出expression中所有的符号变量
symvar(expression,n) 列出n个自由符号变量，这n个的规则按离x的距离列出（先右后左），比如前3个为x,y,w(y在x的右边,w在x的左边)

>> syms x y w
>> f = x + y + w;
>> symvar(f,2)
ans =
[ x, y]

符号对象的识别

识别数据对象属性的命令

class(var) 给出var的数据类别
isa(var,’Obj’) 判断var是否为Obj代表的类，是返回1
whos 给出MATLAB内存变量的属性

a = 1; b = 2; c = 3; d = 4;
Mn = [a,b;c,d]
Mc = '[a,b;c,d]'
Ms = sym(Mc)

Mn =
     1     2
     3     4
Mc =
[a,b;c,d]
Ms =
[ a, b]
[ c, d]

CMn = class(Mn)
CMc = class(Mc)
CMs = class(Ms)

CMn =
double
CMc =
char
CMs =
sym

whos Mn Mc Ms

  Name      Size            Bytes  Class     Attributes

  Mc        1x9              18   char                
  Mn        2x2              32   double              
  Ms        2x2              112   sym

符号变量假设

对符号变量的限定性假设

assume(assumption) ，假设限定在assumption
assume(expr,set)表达式限定在集合set，set可以为’real’,’integer’’rational’
assumeAlso(assumption)增加新假设assumption
a = sym(‘a’,res) 、syms a res 创建带res限制的a,res只能为’real’或’positive’

撤销限制

clear，清除MATLAB内存中的x,但没有清除x的假设，如果再定义一个x，那么x的假设还在
syms x clear，sym(‘x’,’clear’)以上两个都是撤销所有对x的假设,没有删除x
assumptions(x)显示对x的所有假设
reset(symengine)重启MuPAD引擎，清空MuPAD中所有内容

在默认的复数域求根

%对x没有做任何假设，默认为复数域
clear all
syms x
f = x^3 + 475*x/100 +5/2;
r = solve(f,x)

r =
              -1/2
 (79^(1/2)*i)/4 + 1/4
 1/4 - (79^(1/2)*i)/4

在实数域求根

assume(x,'real')          %将x限制在real
r21 = solve(f,x)

r21 =
-1/2

%另一种限制x在实数域的方法
syms x clear
assume(imag(x) == 0)
r22 = solve(f,x)

r22 =
-1/2

求第一、第四象限的根

syms x clear
assume(real(x) > 0)    %x的实部大于0即在一、四象限
r3 = solve(f,x)

r3 =
 (79^(1/2)*i)/4 + 1/4
 1/4 - (79^(1/2)*i)/4

求在第一象限的根

assumeAlso(imag(x) > 0)    %同时追加条件x的虚部也大于0
r4 = solve(f,x)

r4 =
(79^(1/2)*i)/4 + 1/4

符号数字及表达式操作

符号数字转换成双精度数字

double(sym_Num)

符号数字的任意精度表达

digits，显示当前环境下十进制符号数字的有效位数
digits(n)，设置有效位数为n位
vpa(x)，根据digits设置的有效数字显示x
vap(x,n)，以n位有效数字显示x，该命令设置的有效位数只对该命令有效，其他情况的有效位数以digits设置的为准。

符号化简

simplify(expr) 对expr运用多种方法进行一轮简化

syms x
f = (1/x^3 + 6/x^2 + 12/x +8)^(1/3)
g1 = simplify(f)

f =
(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3)
g1 =
((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)

g2 = simplify(f,'Steps',10,'IgnoreAnalyticConstraints',true)

g2 =
1/x + 2

对simplify(f,'Steps',10)的说明

‘Steps’ 为化简的次数，这里选为10

表达式中的置换操作

公共子式简化

RS = subexpr(S),从S中提取出公共的子式sigama，并把用sigama重写的S赋给RS
RS = subexpr(S,’w’),从S中提取出公共子式并把子式命名为w,然后把用w重写的S赋值给RS
[Rs w] = subexpr(S,’w’),与上面一样

A = '[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]';
SA = sym(A);                     %生成符号矩阵
det_A = det(SA)                  %求矩阵的行列式
inv_A = inv(SA)                  %求矩阵的逆
Sinv_A = subexpr(inv_A,'w')      %提取矩阵逆中的公共子式并简化表达式

det_A =
a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31
inv_A =
[  (a22*a33 - a23*a32)/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31), -(a12*a33 - a13*a32)/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31),  (a12*a23 - a13*a22)/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31)]
[ -(a21*a33 - a23*a31)/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31),  (a11*a33 - a13*a31)/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31), -(a11*a23 - a13*a21)/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31)]
[  (a21*a32 - a22*a31)/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31), -(a11*a32 - a12*a31)/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31),  (a11*a22 - a12*a21)/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31)]
w = 
1/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31)
Sinv_A =
[  w*(a22*a33 - a23*a32), -w*(a12*a33 - a13*a32),  w*(a12*a23 - a13*a22)]
[ -w*(a21*a33 - a23*a31),  w*(a11*a33 - a13*a31), -w*(a11*a23 - a13*a21)]
[  w*(a21*a32 - a22*a31), -w*(a11*a32 - a12*a31),  w*(a11*a22 - a12*a21)]
>>

通用置换命令

subs(ES,old,new) 用new置换ES中的old

syms a b x
t = 0:pi/20:2*pi;
f1 = a * sin(x) + b
f2 = subs(f1,{a,x,b},{1,t,0});
plot(t,f2,'r')

符号微积分

极限和导数

函数	功能
`limit(f,v,a)`	求极限
`limit(f,v,a,’right’)`	求右极限
`limit(f,v,a,’left’)`	求左极限
`diff(f,v,n)`	求导，`n`缺省时，默认为`1`
`jacobian(f,v)`	求多元函数`f`的雅克比矩阵
`taylor(g)`	麦克劳林`5`阶展开
`taylor(g,v,a,Name,Value)`	把`g(v)`在`v = a`展开,`Value`与`Name`必须成对出现。 `Value`一般为`’Order’`，`Name`为一个整数`n`，表示阶段误差阶次为`n`

求两个重要极限
$\lim\limits_{t \to 0}\frac{sinkt}{kt},\lim\limits_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x})^{kx}$

syms k t x
f1 = sin(k*t)/(k*t);
r1 = limit(f1,0)              %求极限
f2 = (1-1/x)^(k*x);
r2 = limit(f2,x,inf)         %求极限

r1 =
1
r2 =
exp(-k)

$f= \begin{bmatrix} a & t^3 \\ tcosx & lnx \end{bmatrix} 求\frac{df}{dx},\frac{d^2f}{dt^2},\frac{d^2f}{dtdx}。$

syms a t x;
f = [a,t^3;t*cos(x),log(x)];
df = diff(f)                 %f默认对x求一阶导
dfdt2 = diff(f,t,2)          %f对t求二阶导
dfdxdt = diff(diff(f,x),t)   %先对x求导，然后对t求导

df =
[         0,   0]
[ -t*sin(x), 1/x]
dfdt2 =
[ 0, 6*t]
[ 0,   0]
dfdxdt =
[       0, 0]
[ -sin(x), 0]

$f(x_1,x_2)= \begin{bmatrix} x_1e^{x_2} \\ x_2 \\ cos(x_1)sin(x_2) \end{bmatrix}$

求Jacobian矩阵。

syms x1 x2
f = [x1 * exp(x2);x2;cos(x1)*sin(x2)];
v = [x1;x2];              %写成v = [x1, x2]也是一样的
Jf = jacobian(f,v)

Jf =
 
[          exp(x2),      x1*exp(x2)]
[                0,               1]
[ -sin(x1)*sin(x2), cos(x1)*cos(x2)]

隐函数求导。

设 $cos(x+siny)=siny$ ，求 $\frac{dy}{dx}$

syms x y
f(x,y) = sym('cos(x+sin(y(x))) == sin(y(x))');  %y必须写成y(x)
dfdx = diff(f,x,1)

dfdx(x, y) =
-sin(x + sin(y(x)))*(D(y)(x)*cos(y(x)) + 1) == D(y)(x)*cos(y(x))

dfdx1 = subs(dfdx,'D(y)(x)','dydx')  %用dydx替代D(y)(x)，这一步是必须的

dfdx1(x, y) =
-sin(x + sin(y(x)))*(dydx*cos(y(x)) + 1) == dydx*cos(y(x))

dydx = simplify(solve(dfdx1,'dydx'))   求解得隐函数导数

dydx =
-sin(x + sin(y(x)))/(cos(y(x))*(sin(x + sin(y(x))) + 1))

$f(x)=xe^x$ 在x = 0处展开的5阶和8阶Maclaurin级数。

syms x
f(x) = x*exp(x);
r5 = taylor(f)
r8 = taylor(f,'Order',9)
pretty(r8)

r5(x) =
x^5/24 + x^4/6 + x^3/2 + x^2 + x
r8(x) =
x^8/5040 + x^7/720 + x^6/120 + x^5/24 + x^4/6 + x^3/2 + x^2 + x
  8      7     6    5    4    3
 x      x     x    x    x    x     2
---- + --- + --- + -- + -- + -- + x  + x
5040   720   120   24    6    2

pretty可以把一个物理行表示扩展成多个物理行表示

级数符号求和

symsum(f,v,a,b),函数f的变量v取遍[a,b]所有数之和

syms n k
f1 = 1/(k * (k+1));
s1 = symsum(f1,k,1,inf)

s1 =
1

syms x
f2 = x^(2*k - 1)/(2*k-1);
s2 = symsum(f2,k,1,inf)

s2 =
piecewise([abs(x) < 1, atanh(x)])

f3 = [1/(2*k-1)^2 , (-1)^k/k];
s3 = symsum(f3,k,1,inf)

s3 =
[ pi^2/8, -log(2)]

符号积分

int(f,v) 不定积分
int(f,v,a,b) [a,b]上定积分

不定积分 $\int xlnxdx$

syms x
intf = int(x*log(x),x)

intf =
(x^2*(log(x) - 1/2))/2

求三重积分
$\int_{1}^{2}\int_{\sqrt(x)}^{x^2}\int_{\sqrt{xy}}^{x^2y}(x^2+y^2+z^2)dzdydx$

syms x y z
F2 = int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)
VF2 = vpa(F2)

F2 =
(14912*2^(1/4))/4641 - (6072064*2^(1/2))/348075 + (64*2^(3/4))/225 + 1610027357/6563700
 
VF2 =
224.92153573331143159790710032805

微分方程的符号解法

命名格式常见的两种

dsolve(‘eq1, … , eqn’, ‘cond1, … , condn’, ‘v’)
dsolve(‘eq1’, … , ‘eqn’, ‘cond1’, … , ‘condn’, ‘v’)

输入的三部分为：微分方程，边值条件，指定的独立变量，若不指定独立变量，则默认为t，当y是因变量时,Dny表示y的n阶导数，边值条件必须写成y(a) = b, Dy(c) = d …的形式

S = dsolve('Dx = y, Dy = -x')
disp(' ')
disp(['微分方程的解',blanks(2),'x',blanks(22),'y'])
disp([S.x,S.y])

S = 
    y: [1x1 sym]
    x: [1x1 sym]
 
微分方程的解  x                      y
[ C2*cos(t) + C1*sin(t), C1*cos(t) - C2*sin(t)]

y = dsolve('x*D2y - 3*Dy = x^2','y(1) = 0,y(5) = 0','x')

y =
(31*x^4)/468 - x^3/3 + 125/468

符号变换和符号卷积

Fourier变换

fourier(f,t,w) 时域变频域
ifourier(F,w,t) 频域变时域

单位阶跃函数的傅里叶变换。

syms t w
ut = heaviside(t);
UT = fourier(ut)

UT =
pi*dirac(w) - i/w

傅里叶反变换验证

Ut = ifourier(UT,w,t)
SUt = simplify(Ut)

SUt =
heaviside(t)

Laplace变换

Msyms t s a b
f1 = exp(-a*t)*sin(b*t);
F1 = laplace(f1,t,s);
pretty(F1)

      b
-------------
       2    2
(a + s)  + b

Z变换及其反变换

ztrans(f,n,z)
iztrans(F,z,n)

syms n z clear
gn = 6*(1-(1/2)^n);
G = ztrans(gn,n,z);
pretty(G)

6 z     6 z
----- - -----
z - 1       1
        z - -
             2

符号卷积

$x(t)=e^{-t}u(t),h(t)=\frac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}}u(t),求x(t)*h(t)$
方法一：定义实现

syms T t tao s
xt = exp(-t);
ht = exp(-t/T)/T;
uhtao = subs(xt,t,tao)*subs(ht,t,t-tao);
yt1 = int(uhtao,tao,0,t)

yt1 =
-(exp(-t) - exp(-t/T))/(T - 1)

方法二：Laplace变换实现

yt21 = ilaplace(laplace(ut,t,s)*laplace(ht,t,s),s,t);
yt22 = collect(yt21,'(T-1)')

yt22 =
(exp(-t/T) - exp(-t))/(T - 1)

代数方程求解

线性方程组符号解

A = sym([1 1/2 1/2 -1; 1 1 -1 1; 1 -1/4 -1 1; -8 -1 1 1]);
b = sym([0;10;0;1]);
x1 = A\b

x1 =
 1
 8
 8
 9

一般代数方程的解

solve(‘eq1’, ‘eq2’, … , ‘eqn’, ‘v1’, ‘v2’, … , ‘vn’)
solve(expr1, expr2, … , exprn, ‘v1’, ‘v2’, … , ‘vn’)

S = solve('u*y^2 + v*z + w = 0', 'y + z + w = 0','y','z')
disp('S.y'),disp(S.y),disp('S.z'),disp(S.z)

S = 
    y: [2x1 sym]
    z: [2x1 sym]
S.y
 (v + 2*u*w + (v^2 + 4*u*w*v - 4*u*w)^(1/2))/(2*u) - w
 (v + 2*u*w - (v^2 + 4*u*w*v - 4*u*w)^(1/2))/(2*u) - w
S.z
 -(v + 2*u*w + (v^2 + 4*u*w*v - 4*u*w)^(1/2))/(2*u)
 -(v + 2*u*w - (v^2 + 4*u*w*v - 4*u*w)^(1/2))/(2*u)

syms x
s = solve((x+2)^x == 2,x)        %注意==号的使用
xs = (s+2)^s                     %验算

s =
0.69829942170241042826920133106081         %当没有解析解时，给出近似解
xs =
2.0

符号运算

文章目录

符号对象和表达式

基本符号对象和运算符

生成符号对象的规则

符号常数的定义

基本符号变量

符号表达式和符号函数

符号表达式和符号函数

自由符号变量

符号对象的识别

符号变量假设

对符号变量的限定性假设

撤销限制

符号数字及表达式操作

符号数字转换成双精度数字

符号数字的任意精度表达

符号化简

表达式中的置换操作

公共子式简化

通用置换命令

符号微积分

极限和导数

级数符号求和

符号积分

微分方程的符号解法

符号变换和符号卷积

Fourier变换

Laplace变换

Z变换及其反变换

符号卷积

代数方程求解

线性方程组符号解

一般代数方程的解