111. 爬樓梯

從物理學到計算機，再到硬件，再到人工智能！
藍橋杯備賽 （LintCode上刷的第七題）

問題描述

假設你正在爬樓梯，需要n步你才能到達頂部。但每次你只能爬一步或者兩步，你能有多少種不同的方法爬到樓頂部？

樣例輸出

比如n=3，1+1+1=1+2=2+1=3，共有3種不同的方法

問題分析

這道題參考了換錢的方法數的思想。不同的是，此題中1 + 2 = 2+ 1是兩種方式，於是我在此基礎上加入了組合，就完美地解決了問題。

JAVA實現代碼

package DP;

public class Upstairs111_1113 {

	/**
	 * 通過arr數組中不同步數的選擇到達aim
	 * @param arr 可供選擇步數
	 * @param aim 要爬的樓梯數
	 * @return
	 */
	public static int upstairs(int[] arr, int aim) {
		//判斷輸入參數的有效性
		if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
			return 0;
		}
		//創建一個數組，dp[i][j]表示arr[0...i]組成j有多少種方式
		int dp[][] = new int[arr.length][aim + 1];
		//組成0的方式只有一種，就是不使用arr中的任何值
		for (int i = 0; i < arr.length; i ++) {
			dp[i][0] = 1;
		}
		//只使用arr[0]時，只能組成其倍數的值，且組成方式只有一種
		for (int i = 0; arr[0] * i <= aim; i ++) {
			dp[0][arr[0] * i] = 1;
		}
		// 定義一個變量記錄有多少種方法
		int num = 0;
		//使用arr中不同值
		for (int i = 1; i < arr.length; i ++) {
			//遍歷所有小於aim的值的組成情況
			for (int j = 1; j <= aim; j ++) {
				num = 0;
				//當使用k次arr[i]時，j的所有組成方式
				for (int k = 0; j - arr[i] * k >= 0; k ++) {
					//因爲存在順序，所以k次的排列位置也會產生不同的排列方式，採用組合的方式
					num += dp[i - 1][j - arr[i] * k] + combination(k, (j - arr[i] * k) / arr[i -1] + k) - 1;
				}
				dp[i][j] = num;
			}
		}
//		for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
//			for (int j = 0; j < dp[0].length; j++) {
//				System.out.print(dp[i][j] + " ");
//			}
//			System.out.println();
//		}
		return dp[arr.length - 1][aim];
	}

	/**
	 * 計算階乘數，即n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1
	 * @param n
	 * @return
	 */
	private static long factorial(int n) {
		long sum = 1;
		while (n > 0) {
			sum = sum * n--;
		}
		return sum;
	}

	/**
	 * 組合計算公式C<sup>m</sup><sub>n</sub> = n! / (m! * (n - m)!)
	 * @param m
	 * @param n
	 * @return
	 */
	public static long combination(int m, int n) {
		return m <= n ? factorial(n) / (factorial(m) * factorial((n - m))) : 0;
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = new int[2];
		arr[0] = 1;
		arr[1] = 2;
		int n = 3;
		int res = upstairs(arr, n);
		System.out.println(res);
	}

}