114. 不同的路徑

從物理學到計算機，再到硬件，再到人工智能！
藍橋杯備賽 （LintCode上刷的第五題）

問題描述

有一個機器人的位於一個 m × n 個網格左上角。
機器人每一時刻只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角。
問有多少條不同的路徑？
m和n不超過100！

樣例輸出

給出 m = 3 和 n = 3, 返回 6.
給出 m = 4 和 n = 5, 返回 35.

問題分析

首先建立數組dp[m][n]的數組，dp[i][j]表示左上角到(i,j)的路徑方式。
如果從左上角到達第一列或者第一行的路徑方式，只有一種，向下走或者向右走，即dp[i][0] = dp[0][i] = 1；除了前面的情況，到達其他點的路徑方式爲：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

JAVA實現代碼

package DP;

public class DifferentPath1114_1112 {

	/**
	 * 計算從左上角到右下角的不同路徑數
	 * 
	 * @param arr 路徑數組
	 * @return
	 */
	public static int steps(int[][] arr) {
		if (arr == null) {
			return 0;
		}
		// 如果只有一行或者一列數據，則只有一條路徑
		if (arr.length == 1 || arr[0].length == 1) {
			return 1;
		}
		// 創建動態數組記錄左上角到該點的不同路徑數
		int[][] dp = new int[arr.length][arr[0].length];
		// 到第一列的各個點只有一條路徑，向下
		for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
			dp[i][0] = 1;
		}
		// 到第一行的各個點只有一條路徑，向右
		for (int i = 0; i < dp[0].length; i++) {
			dp[0][i] = 1;
		}
		// 遍歷數組中的每個點
		for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
			for (int j = 1; j < arr[0].length; j++) {
				// 除去第一行和第一列的點，到其餘的每一個點的路徑有兩種情況，分別把兩條路上的路徑數相加即爲到當前點的不同路徑數
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
			}
		}
		return dp[arr.length - 1][arr[0].length - 1];

	}

	public static void main(String[] args) {
		int m = 4, n = 5;
		int[][] arr = new int[m][n];

		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			for (int j = 0; j < arr.length; j++) {
				arr[i][j] = 1;
			}
		}
		System.out.println(steps(arr));
	}
}