條件概率的一些結論以及理解

這周剛考完隨機過程，考完以後也一直不太想學習，就順便寫寫一些當時複習時的小結論以及課堂筆記，有不對的地方希望大家及時糾正。

這篇博客分享了一些與“條件概率”有關的結論和理解。先說結論：

條件概率常見結論

設$X、Y$是隨機變量，則有：

1. $E(g(X)h(Y)|Y)=h(Y)E(g(X)|Y)$
2. $E(X|X)=X$
3. $E(E(X|Y))=E(X)$
4. $E(g(X)h(Y))=E(h(Y)E(g(x)|Y))$
5. $E(E(X|Y,Z)|Y\in D_j,Z\in D_k)=E(X|Y\in D_j,Z\in D_k)$
6. $E(E(X|Y,Z)|Y)=E(X|Y) =E(E(X|Y)|Y,Z)$

理解

1. 針對結論一，左側Y爲條件，由於條件概率中的條件都是已知的、固定的，所以取期望時可以直接當做常數提出，所以，可以直接將$h(Y)$提出期望符號，故有：$E(g(X)h(Y)|Y)=h(Y)E(g(X)|Y)$

2. 針對結論二，同理，由於條件概率中的條件都是已知的、固定的，所以取期望時可以直接當做常數提出，所以，可以直接將$X$提出期望符號，後面是對1取條件期望，其結果仍爲1，故有：$E(X|X)=XE(1|X)=X$

3. 針對結論三，有兩種理解方式：
   1）首先要知道：條件概率所得到的是條件的函數。因此E(X|Y)所得到的一定是Y的函數，所以E(E(X|Y))中外層的E再作用後，其效果便是直接將條件Y抹去，因此不難理解$E(E(X|Y))=E(X)$的結論。
   2）也可以看成“二重條件取交集”，內層E的條件爲Y，外層E的條件中無條件，所以可以看爲是關於條件Y的空集，兩層條件取交集爲Y的空集，所以得到的即爲$E(X)$

4. 針對結論四，雙$E$算子的常見結論，也是鞅論中推理證明的常用技巧。兩種理解方法：
   1）推導的方法：將結論三中的X換爲g(X)h(Y)，可得有：$E(E(g(X)h(Y)|Y))=E(g(X)h(Y))$；對結論一中等式兩側取均值有：$E(E(g(X)h(Y)|Y))=E(h(Y)E(g(X)|Y))$，上述兩等式左側一樣，所以有$E(g(X)h(Y))=E(h(Y)E(g(X)|Y))$。
   2）理解的方法：該結論也可以從右向左看，將$E(h(Y)E(g(X)|Y))$中$h(Y)$拿入內層$E$中也可得到左式。

5. 針對結論五，可以看成二重條件取交集的理解方法，外層條件是$Y\in D_j,Z\in D_k$，內層條件是$Y,Z$屬於全集，所以取交集以後即爲$Y\in D_j,Z\in D_k$，所以有結論五。

6. 針對結論六，先說左側等式：$E(E(X|Y,Z)|Y)=E(X|Y)$，可以看成“二重條件取交集”，內層$E$的條件爲$Y,Z$，外層條件爲$Y$，而$Z$爲空集，所以兩者取交集僅剩下$Y$。右側等式同理。

綜上所述，核心就是三點

• 條件是固定的，是已知的，可以直接提出
• 對有條件的事件取均值，得到的是該條件的隨機函數
• 二重條件取交集

所以，有了這些結論的基礎，再去看鞅論的推導和證明會相對輕鬆一些。