徑向基函數插值(待更新....

一、直觀理解

核心思想：採樣n個點，依據這n個點獲得近似函數$s(x)$以逼近原函數$f(x)$，且所獲得的近似函數在此n個點上的值必須等於原函數，此爲插值。

• 樣本點自變量記爲：$x_1,...,x_n\in R^d$（n爲向量）
• 樣本點數值記爲：$f_1,...,f_n\in R$（標量）
• 尋找得到的插值函數的表達式爲下式：

其中$\phi$表示徑向基函數（Radial Basis Functions, 即：RBF），之所以叫徑向基函數，是因爲他表示其值只與自變量的距離有關，而與其餘因素無關，即：兩點之間自變量的距離越遠，徑向基函數的數值越小；而越近，則徑向基函數的數值就越大。徑向基的函數形式可以有很多種，最常用的是高斯基函數（Gaussian）

距離r越大，基函數數值越小，以高斯基函數爲例可以畫出如下草圖：

因此，基函數插值的函數表達式$s(x)$可以看成以$x_i$爲中心的多個基函數之和。我們若仍以高斯基函數爲例，可作出如下示意圖：

因此，可以看出，基於徑向基函數的插值函數就是基函數的線性組合而已，而上圖即爲徑向基函數線性組合的直觀理解。

二、推導與公式

爲了實現徑向基函數的插值工作，就需要求解插值係數，而求解的方法很簡單，就需要把$(x_i,y_i)$都帶入進去，求解即可。後文截圖展現了將N個採樣點，帶入回插值函數中，得到n個公式，如下圖式子(8.4)所示：

上式中的符號與博客開篇所提的符號有出處，具體地：
（1）係數 $\lambda$ 就是圖片中的 $w$ ，；
（2）樣本點的個數爲P個；
（3）樣本點數數值 $f_1,...,f_n\in R$ 即爲上圖中的$d^1,...,d^p$；