關於Bessel不等式和Parseval等式的幾點註解

1. 不等式：設爲內積空間， $M=\left \{e_{n}:n\geqslant 1 \right \}$ 爲標準正交集，不等式如下：

$\sum_{i=1}^{\infty} \left |<x,e_{i}> \right |^{2} \leqslant \left \| x \right \|^{2}$

證明較簡單，首先令：

$y=\sum_{i=1}^{n} <x,e_{i}> e_{i}$

$\forall x\in X$ ，則有（證明過程略）：

$<y,x-y>= ... =0\Rightarrow \left \| x \right \|^{2}=\left \| y \right \|^{2}+\left \| x-y \right \|^{2}$

因此有： $\left \| y \right \|^{2} \leq \left \| x \right \|^{2}$ ，即

$\sum_{i=1}^{n} \left |<x,e_{i}> \right |^{2} \leqslant \left \| x \right \|^{2}$

利用單調有界數列必有極限，得到：

$\sum_{i=1}^{\infty} \left |<x,e_{i}> \right |^{2} \leqslant \left \| x \right \|^{2}$

注意： $\sum_{i=1}^{\infty} \left |<x,e_{i}> \right |^{2}$ 收斂性比 $\sum_{i=1}^{\infty} <x,e_{i}> e_{i}$ 更強一點。可以證明，在空間下二者收斂性相同，更一般地，有：

$\sum_{i\geq 1} <a_{i},e_{i}>$ 與 $\sum_{i\geq 1} \left | a_{i} \right |^{2}$ 收斂性相同。

2. 下面考慮一種特殊的內積空間，即空間：

$\sum_{i=1}^{\infty} <x,e_{i}> e_{i}$

$\sum_{i=1}^{\infty} \left |<x,e_{i}> \right |^{2} = \left \| x \right \|^{2}$

3. 綜上：Parseval等式是Bessel不等式在內積空間完備+標準完全正交集下的特例。

4.在傅里葉分析中的應用。

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