下面我就按照傅里葉-->短時傅里葉變換-->小波變換的順序，講一下爲什麼會出現小波這個東西、小波究竟是怎樣的思路。（反正題主要求的是通俗形象，沒說簡短，希望不會太長不看。。）
一、傅里葉變換
關於傅里葉變換的基本概念在此我就不再贅述了，默認大家現在正處在理解了傅里葉但還沒理解小波的道路上。（在第三節小波變換的地方我會再形象地講一下傅里葉變換）
下面我們主要將傅里葉變換的不足。即我們知道傅里葉變化可以分析信號的頻譜，那麼爲什麼還要提出小波變換？答案就是方沁園所說的，“對非平穩過程，傅里葉變換有侷限性”。看如下一個簡單的信號：<img src="https://pic1.zhimg.com/da6c4b8ce1672d4997000eb08444824c_b.jpg" data-rawwidth="597" data-rawheight="284" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="597" data-original="https://pic1.zhimg.com/da6c4b8ce1672d4997000eb08444824c_r.jpg">做完FFT（快速傅里葉變換）後，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。
做完FFT（快速傅里葉變換）後，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。一切沒有問題。但是，如果是頻率隨着時間變化的非平穩信號呢？
<img src="https://pic1.zhimg.com/def600cea95fa10e3872e88dc8059d6c_b.jpg" data-rawwidth="690" data-rawheight="612" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="690" data-original="https://pic1.zhimg.com/def600cea95fa10e3872e88dc8059d6c_r.jpg">
如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩信號。而下邊兩個則是頻率隨着時間改變的非平穩信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。
做FFT後，我們發現這三個時域上有巨大差異的信號，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩信號，我們從頻譜上無法區分它們，因爲它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的，只是出現的先後順序不同。
可見，傅里葉變換處理非平穩信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現的時刻並無所知。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。
然而平穩信號大多是人爲製造出來的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩的，所以在比如生物醫學信號分析等領域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。
<img src="https://pic3.zhimg.com/e71310fc73e7beba589b76264564abee_b.jpg" data-rawwidth="429" data-rawheight="287" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="429" data-original="https://pic3.zhimg.com/e71310fc73e7beba589b76264564abee_r.jpg">上圖所示的是一個正常人的事件相關電位。對於這樣的非平穩信號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道
上圖所示的是一個正常人的事件相關電位。對於這樣的非平穩信號，只知道包含哪些頻率成分是不夠的，我們還想知道各個成分出現的時間。知道信號頻率隨時間變化的情況，各個時刻的瞬時頻率及其幅值——這也就是時頻分析。二、短時傅里葉變換（Short-time Fourier Transform, STFT）
一個簡單可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁園同學的描述了，“把整個時域過程分解成無數個等長的小過程，每個小過程近似平穩，再傅里葉變換，就知道在哪個時間點上出現了什麼頻率了。”這就是短時傅里葉變換。
看圖：
<img src="https://pic3.zhimg.com/7f4ac3c30283e657406d6661300478a2_b.jpg" data-rawwidth="844" data-rawheight="449" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="844" data-original="https://pic3.zhimg.com/7f4ac3c30283e657406d6661300478a2_r.jpg">時域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨着時間的變化情況了嗎！
時域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨着時間的變化情況了嗎！用這樣的方法，可以得到一個信號的時頻圖了：
<img src="https://pic1.zhimg.com/fec492fbcf67ddde4cb6017b62497bf4_b.jpg" data-rawwidth="649" data-rawheight="492" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="649" data-original="https://pic1.zhimg.com/fec492fbcf67ddde4cb6017b62497bf4_r.jpg"> ——此圖像來源於“THE WAVELET TUTORIAL”
——此圖像來源於“THE WAVELET TUTORIAL”圖上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個頻域成分，還能看到出現的時間。兩排峯是對稱的，所以大家只用看一排就行了。
是不是棒棒的？時頻分析結果到手。但是STFT依然有缺陷。
使用STFT存在一個問題，我們應該用多寬的窗函數？
窗太寬太窄都有問題：<img src="https://pic4.zhimg.com/479dd3f809656bf154456868b65e73b3_b.jpg" data-rawwidth="627" data-rawheight="312" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="627" data-original="https://pic4.zhimg.com/479dd3f809656bf154456868b65e73b3_r.jpg">
<img src="https://pic3.zhimg.com/9da6c3e9704c32bfb7b53b995532878e_b.jpg" data-rawwidth="609" data-rawheight="350" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="609" data-original="https://pic3.zhimg.com/9da6c3e9704c32bfb7b53b995532878e_r.jpg">窗太窄，窗內的信號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率分辨率差。窗太寬，時域上又不夠精細，時間分辨率低。
窗太窄，窗內的信號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率分辨率差。窗太寬，時域上又不夠精細，時間分辨率低。（這裏插一句，這個道理可以用海森堡不確定性原理來解釋。類似於我們不能同時獲取一個粒子的動量和位置，我們也不能同時獲取信號絕對精準的時刻和頻率。這也是一對不可兼得的矛盾體。我們不知道在某個瞬間哪個頻率分量存在，我們知道的只能是在一個時間段內某個頻帶的分量存在。 所以絕對意義的瞬時頻率是不存在的。）
看看實例效果吧：<img src="https://pic1.zhimg.com/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_b.jpg" data-rawwidth="608" data-rawheight="292" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="608" data-original="https://pic1.zhimg.com/565a3c57d43c8f2f78a5b1dc0de66e34_r.jpg">
<img src="https://pic3.zhimg.com/c7d2d230a8c4766569c5a77fac901eea_b.jpg" data-rawwidth="604" data-rawheight="295" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="604" data-original="https://pic3.zhimg.com/c7d2d230a8c4766569c5a77fac901eea_r.jpg">
<img src="https://pic2.zhimg.com/39822d6589c4486a0a91a148e0a3e571_b.jpg" data-rawwidth="614" data-rawheight="281" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="614" data-original="https://pic2.zhimg.com/39822d6589c4486a0a91a148e0a3e571_r.jpg"> ——此圖像來源於“THE WAVELET TUTORIAL”
——此圖像來源於“THE WAVELET TUTORIAL”上圖對同一個信號（4個頻率成分）採用不同寬度的窗做STFT，結果如右圖。用窄窗，時頻圖在時間軸上分辨率很高，幾個峯基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上，窄窗明顯不如下邊兩個寬窗精確。
所以窄窗口時間分辨率高、頻率分辨率低，寬窗口時間分辨率低、頻率分辨率高。對於時變的非穩態信號，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會變化，所以STFT還是無法滿足非穩態信號變化的頻率的需求。
三、小波變換
那麼你可能會想到，讓窗口大小變起來，多做幾次STFT不就可以了嗎？！沒錯，小波變換就有着這樣的思路。
但事實上小波並不是這麼做的（關於這一點，方沁園同學的表述“小波變換就是根據算法，加不等長的窗，對每一小部分進行傅里葉變換”就不準確了。小波變換並沒有採用窗的思想，更沒有做傅里葉變換。）
至於爲什麼不採用可變窗的STFT呢，我認爲是因爲這樣做冗餘會太嚴重，STFT做不到正交化，這也是它的一大缺陷。
於是小波變換的出發點和STFT還是不同的。STFT是給信號加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里葉變換的基給換了——將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基。這樣不僅能夠獲取頻率，還可以定位到時間了~